Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38684 / 29474
↖ ↑ ↗
← N 17.800996°
E 32.497559°		 ← 581.55 m → N 17.800996°
E 32.503052°		 →
↑
581.54 m
↓
↑
581.54 m
↓
N 17.795766°
E 32.497559°		 ← 581.56 m →
338 200 m²		 N 17.795766°
E 32.503052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590278625488281 y=0.449745178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590278625488281 × 216)
    floor (0.590278625488281 × 65536)
    floor (38684.5)     		tx = 38684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449745178222656 × 216)
    floor (0.449745178222656 × 65536)
    floor (29474.5)     		ty = 29474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38684 / 29474 ti = "16/38684/29474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38684/29474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38684 ÷ 216
    38684 ÷ 65536     		x = 0.59027099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29474 ÷ 216
    29474 ÷ 65536     		y = 0.449737548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59027099609375 × 2 - 1) × π
    0.1805419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56718940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449737548828125 × 2 - 1) × π
    0.10052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.31580829469693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56718940} λ = 0.56718940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31580829469693))-π/2
    2×atan(1.37136733203492)-π/2
    2×0.940741158976294-π/2
    1.88148231795259-1.57079632675     		φ = 0.31068599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56718940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.497559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31068599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.800996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38684 KachelY 29474 0.56718940 0.31068599 32.497559 17.800996
    Oben rechts KachelX + 1 38685 KachelY 29474 0.56728527 0.31068599 32.503052 17.800996
    Unten links KachelX 38684 KachelY + 1 29475 0.56718940 0.31059471 32.497559 17.795766
    Unten rechts KachelX + 1 38685 KachelY + 1 29475 0.56728527 0.31059471 32.503052 17.795766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31068599-0.31059471) × R
    9.12800000000269e-05 × 6371000     		dl = 581.544880000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31068599-0.31059471) × R
    9.12800000000269e-05 × 6371000     		dr = 581.544880000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56718940-0.56728527) × cos(0.31068599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95212407865247 × 6371000     		do = 581.545742763434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56718940-0.56728527) × cos(0.31059471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952151980064072 × 6371000     		du = 581.562784604406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31068599)-sin(0.31059471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95212407865247-0.952151980064072)×R²
    abs(0.56728527-0.56718940)×2.79014116024712e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79014116024712e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79014116024712e-05×40589641000000     		ar = 338199.904722495m²