Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38684 / 29470
↖ ↑ ↗
← N 17.821915°
E 32.497559°		 ← 581.48 m → N 17.821915°
E 32.503052°		 →
↑
581.48 m
↓
↑
581.48 m
↓
N 17.816686°
E 32.497559°		 ← 581.49 m →
338 123 m²		 N 17.816686°
E 32.503052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590278625488281 y=0.449684143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590278625488281 × 216)
    floor (0.590278625488281 × 65536)
    floor (38684.5)     		tx = 38684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449684143066406 × 216)
    floor (0.449684143066406 × 65536)
    floor (29470.5)     		ty = 29470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38684 / 29470 ti = "16/38684/29470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38684/29470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38684 ÷ 216
    38684 ÷ 65536     		x = 0.59027099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29470 ÷ 216
    29470 ÷ 65536     		y = 0.449676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59027099609375 × 2 - 1) × π
    0.1805419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56718940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449676513671875 × 2 - 1) × π
    0.10064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.31619178989389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56718940} λ = 0.56718940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31619178989389))-π/2
    2×atan(1.37189334567543)-π/2
    2×0.940923715776107-π/2
    1.88184743155221-1.57079632675     		φ = 0.31105110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56718940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.497559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31105110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.821915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38684 KachelY 29470 0.56718940 0.31105110 32.497559 17.821915
    Oben rechts KachelX + 1 38685 KachelY 29470 0.56728527 0.31105110 32.503052 17.821915
    Unten links KachelX 38684 KachelY + 1 29471 0.56718940 0.31095983 32.497559 17.816686
    Unten rechts KachelX + 1 38685 KachelY + 1 29471 0.56728527 0.31095983 32.503052 17.816686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31105110-0.31095983) × R
    9.12700000000322e-05 × 6371000     		dl = 581.481170000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31105110-0.31095983) × R
    9.12700000000322e-05 × 6371000     		dr = 581.481170000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56718940-0.56728527) × cos(0.31105110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952012396737637 × 6371000     		do = 581.477528815724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56718940-0.56728527) × cos(0.31095983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952040326819786 × 6371000     		du = 581.494588168316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31105110)-sin(0.31095983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952012396737637-0.952040326819786)×R²
    abs(0.56728527-0.56718940)×2.79300821497408e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79300821497408e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79300821497408e-05×40589641000000     		ar = 338123.19386533m²