Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38681 / 30213
↖ ↑ ↗
← N 13.896744°
E 32.481079°		 ← 592.97 m → N 13.896744°
E 32.486572°		 →
↑
592.95 m
↓
↑
592.95 m
↓
N 13.891411°
E 32.481079°		 ← 592.99 m →
351 606 m²		 N 13.891411°
E 32.486572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590232849121094 y=0.461021423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590232849121094 × 216)
    floor (0.590232849121094 × 65536)
    floor (38681.5)     		tx = 38681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461021423339844 × 216)
    floor (0.461021423339844 × 65536)
    floor (30213.5)     		ty = 30213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38681 / 30213 ti = "16/38681/30213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38681/30213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38681 ÷ 216
    38681 ÷ 65536     		x = 0.590225219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30213 ÷ 216
    30213 ÷ 65536     		y = 0.461013793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590225219726562 × 2 - 1) × π
    0.180450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56690177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461013793945312 × 2 - 1) × π
    0.077972412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.244957557058487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56690177} λ = 0.56690177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244957557058487))-π/2
    2×atan(1.27756708834895)-π/2
    2×0.906670128380954-π/2
    1.81334025676191-1.57079632675     		φ = 0.24254393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56690177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.481079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24254393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.896744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38681 KachelY 30213 0.56690177 0.24254393 32.481079 13.896744
    Oben rechts KachelX + 1 38682 KachelY 30213 0.56699765 0.24254393 32.486572 13.896744
    Unten links KachelX 38681 KachelY + 1 30214 0.56690177 0.24245086 32.481079 13.891411
    Unten rechts KachelX + 1 38682 KachelY + 1 30214 0.56699765 0.24245086 32.486572 13.891411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24254393-0.24245086) × R
    9.30700000000007e-05 × 6371000     		dl = 592.948970000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24254393-0.24245086) × R
    9.30700000000007e-05 × 6371000     		dr = 592.948970000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56690177-0.56699765) × cos(0.24254393) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.970730133617874 × 6371000     		do = 592.971938801374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56690177-0.56699765) × cos(0.24245086) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.970752482302647 × 6371000     		du = 592.985590528544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24254393)-sin(0.24245086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970730133617874-0.970752482302647)×R²
    abs(0.56699765-0.56690177)×2.23486847734655e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.23486847734655e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.23486847734655e-05×40589641000000     		ar = 351606.147993759m²