Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3868 / 781
↖ ↑ ↗
← N 73.701948°
E159.960937°		 ← 2 742.63 m → N 73.701948°
E160.048828°		 →
↑
2 744.63 m
↓
↑
2 744.63 m
↓
N 73.677265°
E159.960937°		 ← 2 746.67 m →
7 533 050 m²		 N 73.677265°
E160.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9444580078125 y=0.1907958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9444580078125 × 212)
    floor (0.9444580078125 × 4096)
    floor (3868.5)     		tx = 3868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1907958984375 × 212)
    floor (0.1907958984375 × 4096)
    floor (781.5)     		ty = 781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3868 / 781 ti = "12/3868/781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3868/781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3868 ÷ 212
    3868 ÷ 4096     		x = 0.9443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 781 ÷ 212
    781 ÷ 4096     		y = 0.190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9443359375 × 2 - 1) × π
    0.888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79184503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190673828125 × 2 - 1) × π
    0.61865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94355365819556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79184503} λ = 2.79184503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94355365819556))-π/2
    2×atan(6.98352398439613)-π/2
    2×1.42856899004791-π/2
    2.85713798009583-1.57079632675     		φ = 1.28634165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79184503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28634165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.701948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3868 KachelY 781 2.79184503 1.28634165 159.960937 73.701948
    Oben rechts KachelX + 1 3869 KachelY 781 2.79337901 1.28634165 160.048828 73.701948
    Unten links KachelX 3868 KachelY + 1 782 2.79184503 1.28591085 159.960937 73.677265
    Unten rechts KachelX + 1 3869 KachelY + 1 782 2.79337901 1.28591085 160.048828 73.677265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28634165-1.28591085) × R
    0.000430799999999953 × 6371000     		dl = 2744.6267999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28634165-1.28591085) × R
    0.000430799999999953 × 6371000     		dr = 2744.6267999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79184503-2.79337901) × cos(1.28634165) × R
    0.00153398000000005 × 0.280634083748055 × 6371000     		do = 2742.63313436042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79184503-2.79337901) × cos(1.28591085) × R
    0.00153398000000005 × 0.281047545923488 × 6371000     		du = 2746.67389465226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28634165)-sin(1.28591085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280634083748055-0.281047545923488)×R²
    abs(2.79337901-2.79184503)×0.000413462175432755×R²
    0.00153398000000005×0.000413462175432755×6371000²
    0.00153398000000005×0.000413462175432755×40589641000000     		ar = 7533049.70913421m²