Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38679 / 29431
↖ ↑ ↗
← N 18.025751°
E 32.470093°		 ← 580.81 m → N 18.025751°
E 32.475586°		 →
↑
580.84 m
↓
↑
580.84 m
↓
N 18.020528°
E 32.470093°		 ← 580.83 m →
337 364 m²		 N 18.020528°
E 32.475586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590202331542969 y=0.449089050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590202331542969 × 216)
    floor (0.590202331542969 × 65536)
    floor (38679.5)     		tx = 38679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449089050292969 × 216)
    floor (0.449089050292969 × 65536)
    floor (29431.5)     		ty = 29431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38679 / 29431 ti = "16/38679/29431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38679/29431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38679 ÷ 216
    38679 ÷ 65536     		x = 0.590194702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29431 ÷ 216
    29431 ÷ 65536     		y = 0.449081420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590194702148438 × 2 - 1) × π
    0.180389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56671003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449081420898438 × 2 - 1) × π
    0.101837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.319930868064255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56671003} λ = 0.56671003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319930868064255))-π/2
    2×atan(1.37703256411857)-π/2
    2×0.942702518395727-π/2
    1.88540503679145-1.57079632675     		φ = 0.31460871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56671003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.470093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31460871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.025751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38679 KachelY 29431 0.56671003 0.31460871 32.470093 18.025751
    Oben rechts KachelX + 1 38680 KachelY 29431 0.56680590 0.31460871 32.475586 18.025751
    Unten links KachelX 38679 KachelY + 1 29432 0.56671003 0.31451754 32.470093 18.020528
    Unten rechts KachelX + 1 38680 KachelY + 1 29432 0.56680590 0.31451754 32.475586 18.020528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31460871-0.31451754) × R
    9.11700000000293e-05 × 6371000     		dl = 580.844070000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31460871-0.31451754) × R
    9.11700000000293e-05 × 6371000     		dr = 580.844070000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56671003-0.56680590) × cos(0.31460871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950917534210786 × 6371000     		do = 580.808800174492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56671003-0.56680590) × cos(0.31451754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950945742305645 × 6371000     		du = 580.826029333847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31460871)-sin(0.31451754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950917534210786-0.950945742305645)×R²
    abs(0.56680590-0.56671003)×2.82080948590391e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82080948590391e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82080948590391e-05×40589641000000     		ar = 337364.351346448m²