Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38678 / 29086
↖ ↑ ↗
← N 19.818390°
E 32.464599°		 ← 574.67 m → N 19.818390°
E 32.470093°		 →
↑
574.66 m
↓
↑
574.66 m
↓
N 19.813222°
E 32.464599°		 ← 574.69 m →
330 249 m²		 N 19.813222°
E 32.470093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590187072753906 y=0.443824768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590187072753906 × 216)
    floor (0.590187072753906 × 65536)
    floor (38678.5)     		tx = 38678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443824768066406 × 216)
    floor (0.443824768066406 × 65536)
    floor (29086.5)     		ty = 29086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38678 / 29086 ti = "16/38678/29086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38678/29086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38678 ÷ 216
    38678 ÷ 65536     		x = 0.590179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29086 ÷ 216
    29086 ÷ 65536     		y = 0.443817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590179443359375 × 2 - 1) × π
    0.18035888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56661415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443817138671875 × 2 - 1) × π
    0.11236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.353007328802094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56661415} λ = 0.56661415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353007328802094))-π/2
    2×atan(1.42334157478409)-π/2
    2×0.958346243183814-π/2
    1.91669248636763-1.57079632675     		φ = 0.34589616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56661415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.464599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34589616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.818390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38678 KachelY 29086 0.56661415 0.34589616 32.464599 19.818390
    Oben rechts KachelX + 1 38679 KachelY 29086 0.56671003 0.34589616 32.470093 19.818390
    Unten links KachelX 38678 KachelY + 1 29087 0.56661415 0.34580596 32.464599 19.813222
    Unten rechts KachelX + 1 38679 KachelY + 1 29087 0.56671003 0.34580596 32.470093 19.813222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34589616-0.34580596) × R
    9.01999999999847e-05 × 6371000     		dl = 574.664199999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34589616-0.34580596) × R
    9.01999999999847e-05 × 6371000     		dr = 574.664199999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56661415-0.56671003) × cos(0.34589616) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940771996422683 × 6371000     		do = 574.671966356974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56661415-0.56671003) × cos(0.34580596) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940802573994137 × 6371000     		du = 574.690644711751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34589616)-sin(0.34580596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940771996422683-0.940802573994137)×R²
    abs(0.56671003-0.56661415)×3.05775714541934e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.05775714541934e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.05775714541934e-05×40589641000000     		ar = 330248.772923564m²