Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38672 / 29968
↖ ↑ ↗
← N 15.199386°
E 32.431641°		 ← 589.42 m → N 15.199386°
E 32.437134°		 →
↑
589.44 m
↓
↑
589.44 m
↓
N 15.194085°
E 32.431641°		 ← 589.44 m →
347 436 m²		 N 15.194085°
E 32.437134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590095520019531 y=0.457283020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590095520019531 × 216)
    floor (0.590095520019531 × 65536)
    floor (38672.5)     		tx = 38672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457283020019531 × 216)
    floor (0.457283020019531 × 65536)
    floor (29968.5)     		ty = 29968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38672 / 29968 ti = "16/38672/29968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38672/29968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38672 ÷ 216
    38672 ÷ 65536     		x = 0.590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29968 ÷ 216
    29968 ÷ 65536     		y = 0.457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590087890625 × 2 - 1) × π
    0.18017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56603891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457275390625 × 2 - 1) × π
    0.08544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.268446637872314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56603891} λ = 0.56603891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268446637872314))-π/2
    2×atan(1.30793118117767)-π/2
    2×0.918037828808277-π/2
    1.83607565761655-1.57079632675     		φ = 0.26527933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56603891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26527933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.199386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38672 KachelY 29968 0.56603891 0.26527933 32.431641 15.199386
    Oben rechts KachelX + 1 38673 KachelY 29968 0.56613478 0.26527933 32.437134 15.199386
    Unten links KachelX 38672 KachelY + 1 29969 0.56603891 0.26518681 32.431641 15.194085
    Unten rechts KachelX + 1 38673 KachelY + 1 29969 0.56613478 0.26518681 32.437134 15.194085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26527933-0.26518681) × R
    9.25199999999848e-05 × 6371000     		dl = 589.444919999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26527933-0.26518681) × R
    9.25199999999848e-05 × 6371000     		dr = 589.444919999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56603891-0.56613478) × cos(0.26527933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965019304115618 × 6371000     		do = 589.421988767717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56603891-0.56613478) × cos(0.26518681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965043556771344 × 6371000     		du = 589.436801993225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26527933)-sin(0.26518681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965019304115618-0.965043556771344)×R²
    abs(0.56613478-0.56603891)×2.42526557259204e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.42526557259204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.42526557259204e-05×40589641000000     		ar = 347436.163053393m²