Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3867 / 2158
↖ ↑ ↗
← N 64.510643°
W 10.063477°		 ← 2 102.87 m → N 64.510643°
W 10.019531°		 →
↑
2 103.64 m
↓
↑
2 103.64 m
↓
N 64.491725°
W 10.063477°		 ← 2 104.33 m →
4 425 215 m²		 N 64.491725°
W 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47210693359375 y=0.26348876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47210693359375 × 213)
    floor (0.47210693359375 × 8192)
    floor (3867.5)     		tx = 3867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26348876953125 × 213)
    floor (0.26348876953125 × 8192)
    floor (2158.5)     		ty = 2158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3867 / 2158 ti = "13/3867/2158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3867/2158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3867 ÷ 213
    3867 ÷ 8192     		x = 0.4720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2158 ÷ 213
    2158 ÷ 8192     		y = 0.263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17564080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263427734375 × 2 - 1) × π
    0.47314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4864273834187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17564080} λ = -0.17564080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4864273834187))-π/2
    2×atan(4.42127176092058)-π/2
    2×1.34835972632277-π/2
    2.69671945264555-1.57079632675     		φ = 1.12592313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17564080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.063477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12592313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.510643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3867 KachelY 2158 -0.17564080 1.12592313 -10.063477 64.510643
    Oben rechts KachelX + 1 3868 KachelY 2158 -0.17487381 1.12592313 -10.019531 64.510643
    Unten links KachelX 3867 KachelY + 1 2159 -0.17564080 1.12559294 -10.063477 64.491725
    Unten rechts KachelX + 1 3868 KachelY + 1 2159 -0.17487381 1.12559294 -10.019531 64.491725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12592313-1.12559294) × R
    0.000330190000000119 × 6371000     		dl = 2103.64049000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12592313-1.12559294) × R
    0.000330190000000119 × 6371000     		dr = 2103.64049000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17564080--0.17487381) × cos(1.12592313) × R
    0.000766990000000023 × 0.430343422915205 × 6371000     		do = 2102.87024847085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17564080--0.17487381) × cos(1.12559294) × R
    0.000766990000000023 × 0.430641450486717 × 6371000     		du = 2104.32655819927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12592313)-sin(1.12559294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430343422915205-0.430641450486717)×R²
    abs(-0.17487381--0.17564080)×0.000298027571511539×R²
    0.000766990000000023×0.000298027571511539×6371000²
    0.000766990000000023×0.000298027571511539×40589641000000     		ar = 4425214.81616402m²