Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38664 / 29448
↖ ↑ ↗
← N 17.936928°
E 32.387695°		 ← 581.10 m → N 17.936928°
E 32.393188°		 →
↑
581.10 m
↓
↑
581.10 m
↓
N 17.931703°
E 32.387695°		 ← 581.12 m →
337 682 m²		 N 17.931703°
E 32.393188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589973449707031 y=0.449348449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589973449707031 × 216)
    floor (0.589973449707031 × 65536)
    floor (38664.5)     		tx = 38664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449348449707031 × 216)
    floor (0.449348449707031 × 65536)
    floor (29448.5)     		ty = 29448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38664 / 29448 ti = "16/38664/29448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38664/29448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38664 ÷ 216
    38664 ÷ 65536     		x = 0.5899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29448 ÷ 216
    29448 ÷ 65536     		y = 0.4493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5899658203125 × 2 - 1) × π
    0.179931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56527192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4493408203125 × 2 - 1) × π
    0.101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.318301013477173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56527192} λ = 0.56527192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318301013477173))-π/2
    2×atan(1.37479002927665)-π/2
    2×0.94192739460337-π/2
    1.88385478920674-1.57079632675     		φ = 0.31305846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56527192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.387695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31305846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.936928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38664 KachelY 29448 0.56527192 0.31305846 32.387695 17.936928
    Oben rechts KachelX + 1 38665 KachelY 29448 0.56536779 0.31305846 32.393188 17.936928
    Unten links KachelX 38664 KachelY + 1 29449 0.56527192 0.31296725 32.387695 17.931703
    Unten rechts KachelX + 1 38665 KachelY + 1 29449 0.56536779 0.31296725 32.393188 17.931703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31305846-0.31296725) × R
    9.12100000000082e-05 × 6371000     		dl = 581.098910000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31305846-0.31296725) × R
    9.12100000000082e-05 × 6371000     		dr = 581.098910000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56527192-0.56536779) × cos(0.31305846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951396107557898 × 6371000     		do = 581.101106921956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56527192-0.56536779) × cos(0.31296725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951424193533087 × 6371000     		du = 581.11826149211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31305846)-sin(0.31296725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951396107557898-0.951424193533087)×R²
    abs(0.56536779-0.56527192)×2.80859751894402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80859751894402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80859751894402e-05×40589641000000     		ar = 337682.204317352m²