Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38662 / 29986
↖ ↑ ↗
← N 15.103946°
E 32.376709°		 ← 589.75 m → N 15.103946°
E 32.382202°		 →
↑
589.70 m
↓
↑
589.70 m
↓
N 15.098643°
E 32.376709°		 ← 589.76 m →
347 779 m²		 N 15.098643°
E 32.382202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589942932128906 y=0.457557678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589942932128906 × 216)
    floor (0.589942932128906 × 65536)
    floor (38662.5)     		tx = 38662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457557678222656 × 216)
    floor (0.457557678222656 × 65536)
    floor (29986.5)     		ty = 29986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38662 / 29986 ti = "16/38662/29986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38662/29986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38662 ÷ 216
    38662 ÷ 65536     		x = 0.589935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29986 ÷ 216
    29986 ÷ 65536     		y = 0.457550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589935302734375 × 2 - 1) × π
    0.17987060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56508017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457550048828125 × 2 - 1) × π
    0.08489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266720909485992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56508017} λ = 0.56508017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266720909485992))-π/2
    2×atan(1.30567599369118)-π/2
    2×0.917204960188988-π/2
    1.83440992037798-1.57079632675     		φ = 0.26361359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56508017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.376709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26361359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.103946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38662 KachelY 29986 0.56508017 0.26361359 32.376709 15.103946
    Oben rechts KachelX + 1 38663 KachelY 29986 0.56517605 0.26361359 32.382202 15.103946
    Unten links KachelX 38662 KachelY + 1 29987 0.56508017 0.26352103 32.376709 15.098643
    Unten rechts KachelX + 1 38663 KachelY + 1 29987 0.56517605 0.26352103 32.382202 15.098643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26361359-0.26352103) × R
    9.25600000000193e-05 × 6371000     		dl = 589.699760000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26361359-0.26352103) × R
    9.25600000000193e-05 × 6371000     		dr = 589.699760000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56508017-0.56517605) × cos(0.26361359) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965454686875687 × 6371000     		do = 589.749424351246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56508017-0.56517605) × cos(0.26352103) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.965478801191992 × 6371000     		du = 589.76415461705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26361359)-sin(0.26352103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965454686875687-0.965478801191992)×R²
    abs(0.56517605-0.56508017)×2.41143163047797e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.41143163047797e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.41143163047797e-05×40589641000000     		ar = 347779.437465578m²