Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38662 / 29532
↖ ↑ ↗
← N 17.497390°
E 32.376709°		 ← 582.59 m → N 17.497390°
E 32.382202°		 →
↑
582.56 m
↓
↑
582.56 m
↓
N 17.492151°
E 32.376709°		 ← 582.60 m →
339 400 m²		 N 17.492151°
E 32.382202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589942932128906 y=0.450630187988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589942932128906 × 216)
    floor (0.589942932128906 × 65536)
    floor (38662.5)     		tx = 38662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450630187988281 × 216)
    floor (0.450630187988281 × 65536)
    floor (29532.5)     		ty = 29532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38662 / 29532 ti = "16/38662/29532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38662/29532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38662 ÷ 216
    38662 ÷ 65536     		x = 0.589935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29532 ÷ 216
    29532 ÷ 65536     		y = 0.45062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589935302734375 × 2 - 1) × π
    0.17987060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56508017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45062255859375 × 2 - 1) × π
    0.0987548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.310247614341003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56508017} λ = 0.56508017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310247614341003))-π/2
    2×atan(1.36376275954452)-π/2
    2×0.93809169116579-π/2
    1.87618338233158-1.57079632675     		φ = 0.30538706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56508017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.376709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30538706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.497390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38662 KachelY 29532 0.56508017 0.30538706 32.376709 17.497390
    Oben rechts KachelX + 1 38663 KachelY 29532 0.56517605 0.30538706 32.382202 17.497390
    Unten links KachelX 38662 KachelY + 1 29533 0.56508017 0.30529562 32.376709 17.492151
    Unten rechts KachelX + 1 38663 KachelY + 1 29533 0.56517605 0.30529562 32.382202 17.492151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30538706-0.30529562) × R
    9.14399999999982e-05 × 6371000     		dl = 582.564239999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30538706-0.30529562) × R
    9.14399999999982e-05 × 6371000     		dr = 582.564239999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56508017-0.56517605) × cos(0.30538706) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953730649643732 × 6371000     		do = 582.587778856527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56508017-0.56517605) × cos(0.30529562) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953758138221658 × 6371000     		du = 582.604570295037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30538706)-sin(0.30529562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953730649643732-0.953758138221658)×R²
    abs(0.56517605-0.56508017)×2.74885779260048e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.74885779260048e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.74885779260048e-05×40589641000000     		ar = 339399.697905133m²