Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38662 / 28964
↖ ↑ ↗
← N 20.447603°
E 32.376709°		 ← 572.36 m → N 20.447603°
E 32.382202°		 →
↑
572.37 m
↓
↑
572.37 m
↓
N 20.442455°
E 32.376709°		 ← 572.38 m →
327 609 m²		 N 20.442455°
E 32.382202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589942932128906 y=0.441963195800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589942932128906 × 216)
    floor (0.589942932128906 × 65536)
    floor (38662.5)     		tx = 38662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441963195800781 × 216)
    floor (0.441963195800781 × 65536)
    floor (28964.5)     		ty = 28964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38662 / 28964 ti = "16/38662/28964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38662/28964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38662 ÷ 216
    38662 ÷ 65536     		x = 0.589935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28964 ÷ 216
    28964 ÷ 65536     		y = 0.44195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589935302734375 × 2 - 1) × π
    0.17987060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56508017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44195556640625 × 2 - 1) × π
    0.1160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364703932309387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56508017} λ = 0.56508017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364703932309387))-π/2
    2×atan(1.4400875816222)-π/2
    2×0.963837156380917-π/2
    1.92767431276183-1.57079632675     		φ = 0.35687799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56508017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.376709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35687799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.447603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38662 KachelY 28964 0.56508017 0.35687799 32.376709 20.447603
    Oben rechts KachelX + 1 38663 KachelY 28964 0.56517605 0.35687799 32.382202 20.447603
    Unten links KachelX 38662 KachelY + 1 28965 0.56508017 0.35678815 32.376709 20.442455
    Unten rechts KachelX + 1 38663 KachelY + 1 28965 0.56517605 0.35678815 32.382202 20.442455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35687799-0.35678815) × R
    8.98399999999522e-05 × 6371000     		dl = 572.370639999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35687799-0.35678815) × R
    8.98399999999522e-05 × 6371000     		dr = 572.370639999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56508017-0.56517605) × cos(0.35687799) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.936992064505939 × 6371000     		do = 572.362989351996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56508017-0.56517605) × cos(0.35678815) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.937023446386236 × 6371000     		du = 572.38215902002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35687799)-sin(0.35678815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936992064505939-0.937023446386236)×R²
    abs(0.56517605-0.56508017)×3.13818802962773e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.13818802962773e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.13818802962773e-05×40589641000000     		ar = 327609.256825389m²