Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38660 / 29956
↖ ↑ ↗
← N 15.262988°
E 32.365723°		 ← 589.24 m → N 15.262988°
E 32.371216°		 →
↑
589.25 m
↓
↑
589.25 m
↓
N 15.257689°
E 32.365723°		 ← 589.26 m →
347 219 m²		 N 15.257689°
E 32.371216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589912414550781 y=0.457099914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589912414550781 × 216)
    floor (0.589912414550781 × 65536)
    floor (38660.5)     		tx = 38660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457099914550781 × 216)
    floor (0.457099914550781 × 65536)
    floor (29956.5)     		ty = 29956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38660 / 29956 ti = "16/38660/29956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38660/29956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38660 ÷ 216
    38660 ÷ 65536     		x = 0.58990478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29956 ÷ 216
    29956 ÷ 65536     		y = 0.45709228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58990478515625 × 2 - 1) × π
    0.1798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56488843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45709228515625 × 2 - 1) × π
    0.0858154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.269597123463196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56488843} λ = 0.56488843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269597123463196))-π/2
    2×atan(1.30943680308756)-π/2
    2×0.918592865383415-π/2
    1.83718573076683-1.57079632675     		φ = 0.26638940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56488843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.365723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26638940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.262988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38660 KachelY 29956 0.56488843 0.26638940 32.365723 15.262988
    Oben rechts KachelX + 1 38661 KachelY 29956 0.56498430 0.26638940 32.371216 15.262988
    Unten links KachelX 38660 KachelY + 1 29957 0.56488843 0.26629691 32.365723 15.257689
    Unten rechts KachelX + 1 38661 KachelY + 1 29957 0.56498430 0.26629691 32.371216 15.257689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26638940-0.26629691) × R
    9.24900000000006e-05 × 6371000     		dl = 589.253790000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26638940-0.26629691) × R
    9.24900000000006e-05 × 6371000     		dr = 589.253790000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56488843-0.56498430) × cos(0.26638940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964727672738496 × 6371000     		do = 589.243863889223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56488843-0.56498430) × cos(0.26629691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964752016596714 × 6371000     		du = 589.258732820097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26638940)-sin(0.26629691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964727672738496-0.964752016596714)×R²
    abs(0.56498430-0.56488843)×2.43438582185895e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.43438582185895e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.43438582185895e-05×40589641000000     		ar = 347218.561065462m²