Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3866 / 2160
↖ ↑ ↗
← N 64.472794°
W 10.107422°		 ← 2 105.78 m → N 64.472794°
W 10.063477°		 →
↑
2 106.51 m
↓
↑
2 106.51 m
↓
N 64.453850°
W 10.107422°		 ← 2 107.24 m →
4 437 384 m²		 N 64.453850°
W 10.063477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47198486328125 y=0.26373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47198486328125 × 213)
    floor (0.47198486328125 × 8192)
    floor (3866.5)     		tx = 3866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26373291015625 × 213)
    floor (0.26373291015625 × 8192)
    floor (2160.5)     		ty = 2160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3866 / 2160 ti = "13/3866/2160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3866/2160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3866 ÷ 213
    3866 ÷ 8192     		x = 0.471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2160 ÷ 213
    2160 ÷ 8192     		y = 0.263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.05615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17640779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263671875 × 2 - 1) × π
    0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17640779} λ = -0.17640779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48489340263086))-π/2
    2×atan(4.41449481416346)-π/2
    2×1.34802942844824-π/2
    2.69605885689648-1.57079632675     		φ = 1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17640779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3866 KachelY 2160 -0.17640779 1.12526253 -10.107422 64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 3867 KachelY 2160 -0.17564080 1.12526253 -10.063477 64.472794
    Unten links KachelX 3866 KachelY + 1 2161 -0.17640779 1.12493189 -10.107422 64.453850
    Unten rechts KachelX + 1 3867 KachelY + 1 2161 -0.17564080 1.12493189 -10.063477 64.453850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12526253-1.12493189) × R
    0.000330640000000049 × 6371000     		dl = 2106.50744000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12526253-1.12493189) × R
    0.000330640000000049 × 6371000     		dr = 2106.50744000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17640779--0.17564080) × cos(1.12526253) × R
    0.000766989999999995 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 2105.78360858761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17640779--0.17564080) × cos(1.12493189) × R
    0.000766989999999995 × 0.431237969244345 × 6371000     		du = 2107.2414431057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12526253)-sin(1.12493189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.431237969244345)×R²
    abs(-0.17564080--0.17640779)×0.000298339613210685×R²
    0.000766989999999995×0.000298339613210685×6371000²
    0.000766989999999995×0.000298339613210685×40589641000000     		ar = 4437384.3485749m²