Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38659 / 30244
↖ ↑ ↗
← N 13.731381°
E 32.360229°		 ← 593.39 m → N 13.731381°
E 32.365723°		 →
↑
593.39 m
↓
↑
593.39 m
↓
N 13.726045°
E 32.360229°		 ← 593.41 m →
352 120 m²		 N 13.726045°
E 32.365723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589897155761719 y=0.461494445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589897155761719 × 216)
    floor (0.589897155761719 × 65536)
    floor (38659.5)     		tx = 38659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461494445800781 × 216)
    floor (0.461494445800781 × 65536)
    floor (30244.5)     		ty = 30244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38659 / 30244 ti = "16/38659/30244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38659/30244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38659 ÷ 216
    38659 ÷ 65536     		x = 0.589889526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30244 ÷ 216
    30244 ÷ 65536     		y = 0.46148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589889526367188 × 2 - 1) × π
    0.179779052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56479255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    0.0770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.241985469282043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56479255} λ = 0.56479255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241985469282043))-π/2
    2×atan(1.27377568380652)-π/2
    2×0.905227067823319-π/2
    1.81045413564664-1.57079632675     		φ = 0.23965781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56479255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.360229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23965781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.731381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38659 KachelY 30244 0.56479255 0.23965781 32.360229 13.731381
    Oben rechts KachelX + 1 38660 KachelY 30244 0.56488843 0.23965781 32.365723 13.731381
    Unten links KachelX 38659 KachelY + 1 30245 0.56479255 0.23956467 32.360229 13.726045
    Unten rechts KachelX + 1 38660 KachelY + 1 30245 0.56488843 0.23956467 32.365723 13.726045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23965781-0.23956467) × R
    9.31399999999916e-05 × 6371000     		dl = 593.394939999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23965781-0.23956467) × R
    9.31399999999916e-05 × 6371000     		dr = 593.394939999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56479255-0.56488843) × cos(0.23965781) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.971419257443257 × 6371000     		do = 593.392891110013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56479255-0.56488843) × cos(0.23956467) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.971441361892923 × 6371000     		du = 593.406393645805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23965781)-sin(0.23956467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971419257443257-0.971441361892923)×R²
    abs(0.56488843-0.56479255)×2.21044496652167e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.21044496652167e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.21044496652167e-05×40589641000000     		ar = 352120.345439382m²