Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38658 / 29442
↖ ↑ ↗
← N 17.968283°
E 32.354736°		 ← 581 m → N 17.968283°
E 32.360229°		 →
↑
581.04 m
↓
↑
581.04 m
↓
N 17.963058°
E 32.354736°		 ← 581.02 m →
337 585 m²		 N 17.963058°
E 32.360229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589881896972656 y=0.449256896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589881896972656 × 216)
    floor (0.589881896972656 × 65536)
    floor (38658.5)     		tx = 38658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449256896972656 × 216)
    floor (0.449256896972656 × 65536)
    floor (29442.5)     		ty = 29442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38658 / 29442 ti = "16/38658/29442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38658/29442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38658 ÷ 216
    38658 ÷ 65536     		x = 0.589874267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29442 ÷ 216
    29442 ÷ 65536     		y = 0.449249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589874267578125 × 2 - 1) × π
    0.17974853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56469668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449249267578125 × 2 - 1) × π
    0.10150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.318876256272614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56469668} λ = 0.56469668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318876256272614))-π/2
    2×atan(1.37558109484181)-π/2
    2×0.942201012230322-π/2
    1.88440202446064-1.57079632675     		φ = 0.31360570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56469668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.354736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31360570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.968283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38658 KachelY 29442 0.56469668 0.31360570 32.354736 17.968283
    Oben rechts KachelX + 1 38659 KachelY 29442 0.56479255 0.31360570 32.360229 17.968283
    Unten links KachelX 38658 KachelY + 1 29443 0.56469668 0.31351450 32.354736 17.963058
    Unten rechts KachelX + 1 38659 KachelY + 1 29443 0.56479255 0.31351450 32.360229 17.963058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31360570-0.31351450) × R
    9.12000000000135e-05 × 6371000     		dl = 581.035200000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31360570-0.31351450) × R
    9.12000000000135e-05 × 6371000     		dr = 581.035200000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56469668-0.56479255) × cos(0.31360570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951227431671528 × 6371000     		do = 580.998081753467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56469668-0.56479255) × cos(0.31351450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951255562046931 × 6371000     		du = 581.015263442729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31360570)-sin(0.31351450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951227431671528-0.951255562046931)×R²
    abs(0.56479255-0.56469668)×2.8130375402835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8130375402835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8130375402835e-05×40589641000000     		ar = 337585.328448341m²