Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38657 / 29953
↖ ↑ ↗
← N 15.278886°
E 32.349243°		 ← 589.26 m → N 15.278886°
E 32.354736°		 →
↑
589.25 m
↓
↑
589.25 m
↓
N 15.273587°
E 32.349243°		 ← 589.28 m →
347 228 m²		 N 15.273587°
E 32.354736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589866638183594 y=0.457054138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589866638183594 × 216)
    floor (0.589866638183594 × 65536)
    floor (38657.5)     		tx = 38657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457054138183594 × 216)
    floor (0.457054138183594 × 65536)
    floor (29953.5)     		ty = 29953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38657 / 29953 ti = "16/38657/29953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38657/29953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38657 ÷ 216
    38657 ÷ 65536     		x = 0.589859008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29953 ÷ 216
    29953 ÷ 65536     		y = 0.457046508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589859008789062 × 2 - 1) × π
    0.179718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56460080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457046508789062 × 2 - 1) × π
    0.085906982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.269884744860916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56460080} λ = 0.56460080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269884744860916))-π/2
    2×atan(1.30981347929857)-π/2
    2×0.918731598290072-π/2
    1.83746319658014-1.57079632675     		φ = 0.26666687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56460080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.349243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26666687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.278886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38657 KachelY 29953 0.56460080 0.26666687 32.349243 15.278886
    Oben rechts KachelX + 1 38658 KachelY 29953 0.56469668 0.26666687 32.354736 15.278886
    Unten links KachelX 38657 KachelY + 1 29954 0.56460080 0.26657438 32.349243 15.273587
    Unten rechts KachelX + 1 38658 KachelY + 1 29954 0.56469668 0.26657438 32.354736 15.273587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26666687-0.26657438) × R
    9.24900000000006e-05 × 6371000     		dl = 589.253790000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26666687-0.26657438) × R
    9.24900000000006e-05 × 6371000     		dr = 589.253790000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56460080-0.56469668) × cos(0.26666687) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.964654591648674 × 6371000     		do = 589.260684997002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56460080-0.56469668) × cos(0.26657438) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.964678960264267 × 6371000     		du = 589.275570601903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26666687)-sin(0.26657438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964654591648674-0.964678960264267)×R²
    abs(0.56469668-0.56460080)×2.43686155930734e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.43686155930734e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.43686155930734e-05×40589641000000     		ar = 347228.477879528m²