Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38657 / 29952
↖ ↑ ↗
← N 15.284185°
E 32.349243°		 ← 589.25 m → N 15.284185°
E 32.354736°		 →
↑
589.19 m
↓
↑
589.19 m
↓
N 15.278886°
E 32.349243°		 ← 589.26 m →
347 182 m²		 N 15.278886°
E 32.354736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589866638183594 y=0.457038879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589866638183594 × 216)
    floor (0.589866638183594 × 65536)
    floor (38657.5)     		tx = 38657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457038879394531 × 216)
    floor (0.457038879394531 × 65536)
    floor (29952.5)     		ty = 29952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38657 / 29952 ti = "16/38657/29952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38657/29952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38657 ÷ 216
    38657 ÷ 65536     		x = 0.589859008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29952 ÷ 216
    29952 ÷ 65536     		y = 0.45703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589859008789062 × 2 - 1) × π
    0.179718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56460080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45703125 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56460080} λ = 0.56460080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269980618660156))-π/2
    2×atan(1.30993906211308)-π/2
    2×0.918777840256196-π/2
    1.83755568051239-1.57079632675     		φ = 0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56460080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.349243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38657 KachelY 29952 0.56460080 0.26675935 32.349243 15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 38658 KachelY 29952 0.56469668 0.26675935 32.354736 15.284185
    Unten links KachelX 38657 KachelY + 1 29953 0.56460080 0.26666687 32.349243 15.278886
    Unten rechts KachelX + 1 38658 KachelY + 1 29953 0.56469668 0.26666687 32.354736 15.278886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26675935-0.26666687) × R
    9.24800000000059e-05 × 6371000     		dl = 589.190080000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26675935-0.26666687) × R
    9.24800000000059e-05 × 6371000     		dr = 589.190080000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56460080-0.56469668) × cos(0.26675935) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 589.245795961576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56460080-0.56469668) × cos(0.26666687) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.964654591648674 × 6371000     		du = 589.260684997002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26675935)-sin(0.26666687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.964654591648674)×R²
    abs(0.56469668-0.56460080)×2.43742315663154e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.43742315663154e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.43742315663154e-05×40589641000000     		ar = 347182.164145578m²