Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38655 / 29439
↖ ↑ ↗
← N 17.983958°
E 32.338257°		 ← 580.95 m → N 17.983958°
E 32.343750°		 →
↑
580.97 m
↓
↑
580.97 m
↓
N 17.978733°
E 32.338257°		 ← 580.96 m →
337 518 m²		 N 17.978733°
E 32.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589836120605469 y=0.449211120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589836120605469 × 216)
    floor (0.589836120605469 × 65536)
    floor (38655.5)     		tx = 38655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449211120605469 × 216)
    floor (0.449211120605469 × 65536)
    floor (29439.5)     		ty = 29439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38655 / 29439 ti = "16/38655/29439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38655/29439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38655 ÷ 216
    38655 ÷ 65536     		x = 0.589828491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29439 ÷ 216
    29439 ÷ 65536     		y = 0.449203491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589828491210938 × 2 - 1) × π
    0.179656982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56440906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449203491210938 × 2 - 1) × π
    0.101593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.319163877670334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56440906} λ = 0.56440906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319163877670334))-π/2
    2×atan(1.37597679830265)-π/2
    2×0.942337802841743-π/2
    1.88467560568349-1.57079632675     		φ = 0.31387928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56440906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.338257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31387928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.983958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38655 KachelY 29439 0.56440906 0.31387928 32.338257 17.983958
    Oben rechts KachelX + 1 38656 KachelY 29439 0.56450493 0.31387928 32.343750 17.983958
    Unten links KachelX 38655 KachelY + 1 29440 0.56440906 0.31378809 32.338257 17.978733
    Unten rechts KachelX + 1 38656 KachelY + 1 29440 0.56450493 0.31378809 32.343750 17.978733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31387928-0.31378809) × R
    9.11899999999632e-05 × 6371000     		dl = 580.971489999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31387928-0.31378809) × R
    9.11899999999632e-05 × 6371000     		dr = 580.971489999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56440906-0.56450493) × cos(0.31387928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951142999250608 × 6371000     		do = 580.946511463378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56440906-0.56450493) × cos(0.31378809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951171150272265 × 6371000     		du = 580.963705763119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31387928)-sin(0.31378809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951142999250608-0.951171150272265)×R²
    abs(0.56450493-0.56440906)×2.81510216573189e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.81510216573189e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.81510216573189e-05×40589641000000     		ar = 337518.355307908m²