Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38655 / 29435
↖ ↑ ↗
← N 18.004856°
E 32.338257°		 ← 580.88 m → N 18.004856°
E 32.343750°		 →
↑
580.91 m
↓
↑
580.91 m
↓
N 17.999632°
E 32.338257°		 ← 580.89 m →
337 441 m²		 N 17.999632°
E 32.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589836120605469 y=0.449150085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589836120605469 × 216)
    floor (0.589836120605469 × 65536)
    floor (38655.5)     		tx = 38655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449150085449219 × 216)
    floor (0.449150085449219 × 65536)
    floor (29435.5)     		ty = 29435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38655 / 29435 ti = "16/38655/29435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38655/29435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38655 ÷ 216
    38655 ÷ 65536     		x = 0.589828491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29435 ÷ 216
    29435 ÷ 65536     		y = 0.449142456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589828491210938 × 2 - 1) × π
    0.179656982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56440906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449142456054688 × 2 - 1) × π
    0.101715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319547372867294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56440906} λ = 0.56440906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319547372867294))-π/2
    2×atan(1.37650457999033)-π/2
    2×0.942520171426847-π/2
    1.88504034285369-1.57079632675     		φ = 0.31424402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56440906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.338257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31424402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.004856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38655 KachelY 29435 0.56440906 0.31424402 32.338257 18.004856
    Oben rechts KachelX + 1 38656 KachelY 29435 0.56450493 0.31424402 32.343750 18.004856
    Unten links KachelX 38655 KachelY + 1 29436 0.56440906 0.31415284 32.338257 17.999632
    Unten rechts KachelX + 1 38656 KachelY + 1 29436 0.56450493 0.31415284 32.343750 17.999632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31424402-0.31415284) × R
    9.1180000000024e-05 × 6371000     		dl = 580.907780000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31424402-0.31415284) × R
    9.1180000000024e-05 × 6371000     		dr = 580.907780000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56440906-0.56450493) × cos(0.31424402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951030322254872 × 6371000     		do = 580.877689732422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56440906-0.56450493) × cos(0.31415284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951058501820641 × 6371000     		du = 580.894901466557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31424402)-sin(0.31415284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951030322254872-0.951058501820641)×R²
    abs(0.56450493-0.56440906)×2.81795657690598e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.81795657690598e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.81795657690598e-05×40589641000000     		ar = 337441.368642979m²