Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 38652 / 29470
↖ ↑ ↗
← N 69.871782°
W 73.839111°		 ← 105.10 m → N 69.871782°
W 73.836365°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
N 69.870837°
W 73.839111°		 ← 105.11 m →
11 049 m²		 N 69.870837°
W 73.836365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.294895172119141 y=0.224842071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.294895172119141 × 217)
    floor (0.294895172119141 × 131072)
    floor (38652.5)     		tx = 38652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224842071533203 × 217)
    floor (0.224842071533203 × 131072)
    floor (29470.5)     		ty = 29470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 38652 / 29470 ti = "17/38652/29470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/38652/29470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38652 ÷ 217
    38652 ÷ 131072     		x = 0.294891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29470 ÷ 217
    29470 ÷ 131072     		y = 0.224838256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.294891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.41021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.28873561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224838256835938 × 2 - 1) × π
    0.550323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72889222169695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.28873561} λ = -1.28873561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72889222169695))-π/2
    2×atan(5.6344087741643)-π/2
    2×1.39514448820217-π/2
    2.79028897640434-1.57079632675     		φ = 1.21949265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.28873561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -73.839111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21949265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.871782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38652 KachelY 29470 -1.28873561 1.21949265 -73.839111 69.871782
    Oben rechts KachelX + 1 38653 KachelY 29470 -1.28868767 1.21949265 -73.836365 69.871782
    Unten links KachelX 38652 KachelY + 1 29471 -1.28873561 1.21947615 -73.839111 69.870837
    Unten rechts KachelX + 1 38653 KachelY + 1 29471 -1.28868767 1.21947615 -73.836365 69.870837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21949265-1.21947615) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21949265-1.21947615) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.28873561--1.28868767) × cos(1.21949265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344122154126138 × 6371000     		do = 105.103763574301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.28873561--1.28868767) × cos(1.21947615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344137646339925 × 6371000     		du = 105.108495295161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21949265)-sin(1.21947615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344122154126138-0.344137646339925)×R²
    abs(-1.28868767--1.28873561)×1.54922137878266e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54922137878266e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54922137878266e-05×40589641000000     		ar = 11048.913985791m²