Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38652 / 29428
↖ ↑ ↗
← N 18.041421°
E 32.321777°		 ← 580.82 m → N 18.041421°
E 32.327271°		 →
↑
580.78 m
↓
↑
580.78 m
↓
N 18.036198°
E 32.321777°		 ← 580.83 m →
337 333 m²		 N 18.036198°
E 32.327271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589790344238281 y=0.449043273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589790344238281 × 216)
    floor (0.589790344238281 × 65536)
    floor (38652.5)     		tx = 38652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449043273925781 × 216)
    floor (0.449043273925781 × 65536)
    floor (29428.5)     		ty = 29428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38652 / 29428 ti = "16/38652/29428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38652/29428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38652 ÷ 216
    38652 ÷ 65536     		x = 0.58978271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29428 ÷ 216
    29428 ÷ 65536     		y = 0.44903564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58978271484375 × 2 - 1) × π
    0.1795654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56412143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44903564453125 × 2 - 1) × π
    0.1019287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.320218489461975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56412143} λ = 0.56412143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320218489461975))-π/2
    2×atan(1.37742868511307)-π/2
    2×0.942839264423693-π/2
    1.88567852884739-1.57079632675     		φ = 0.31488220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56412143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.321777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31488220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.041421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38652 KachelY 29428 0.56412143 0.31488220 32.321777 18.041421
    Oben rechts KachelX + 1 38653 KachelY 29428 0.56421731 0.31488220 32.327271 18.041421
    Unten links KachelX 38652 KachelY + 1 29429 0.56412143 0.31479104 32.321777 18.036198
    Unten rechts KachelX + 1 38653 KachelY + 1 29429 0.56421731 0.31479104 32.327271 18.036198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31488220-0.31479104) × R
    9.1159999999979e-05 × 6371000     		dl = 580.780359999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31488220-0.31479104) × R
    9.1159999999979e-05 × 6371000     		dr = 580.780359999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56412143-0.56421731) × cos(0.31488220) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.950832868697255 × 6371000     		do = 580.817665075983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56412143-0.56421731) × cos(0.31479104) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.95086109740549 × 6371000     		du = 580.834908624187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31488220)-sin(0.31479104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950832868697255-0.95086109740549)×R²
    abs(0.56421731-0.56412143)×2.82287082347121e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.82287082347121e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.82287082347121e-05×40589641000000     		ar = 337332.500207692m²