Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3865 / 791
↖ ↑ ↗
← N 73.453473°
E159.697266°		 ← 2 783.29 m → N 73.453473°
E159.785156°		 →
↑
2 785.34 m
↓
↑
2 785.34 m
↓
N 73.428424°
E159.697266°		 ← 2 787.38 m →
7 758 096 m²		 N 73.428424°
E159.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9437255859375 y=0.1932373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9437255859375 × 212)
    floor (0.9437255859375 × 4096)
    floor (3865.5)     		tx = 3865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1932373046875 × 212)
    floor (0.1932373046875 × 4096)
    floor (791.5)     		ty = 791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3865 / 791 ti = "12/3865/791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3865/791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3865 ÷ 212
    3865 ÷ 4096     		x = 0.943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 791 ÷ 212
    791 ÷ 4096     		y = 0.193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943603515625 × 2 - 1) × π
    0.88720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78724309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193115234375 × 2 - 1) × π
    0.61376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92821385031714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78724309} λ = 2.78724309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92821385031714))-π/2
    2×atan(6.87721552841592)-π/2
    2×1.42640063676116-π/2
    2.85280127352233-1.57079632675     		φ = 1.28200495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78724309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28200495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.453473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3865 KachelY 791 2.78724309 1.28200495 159.697266 73.453473
    Oben rechts KachelX + 1 3866 KachelY 791 2.78877707 1.28200495 159.785156 73.453473
    Unten links KachelX 3865 KachelY + 1 792 2.78724309 1.28156776 159.697266 73.428424
    Unten rechts KachelX + 1 3866 KachelY + 1 792 2.78877707 1.28156776 159.785156 73.428424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28200495-1.28156776) × R
    0.000437189999999976 × 6371000     		dl = 2785.33748999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28200495-1.28156776) × R
    0.000437189999999976 × 6371000     		dr = 2785.33748999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78724309-2.78877707) × cos(1.28200495) × R
    0.00153398000000005 × 0.284793860747511 × 6371000     		do = 2783.2865791519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78724309-2.78877707) × cos(1.28156776) × R
    0.00153398000000005 × 0.285212918947603 × 6371000     		du = 2787.38202931764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28200495)-sin(1.28156776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284793860747511-0.285212918947603)×R²
    abs(2.78877707-2.78724309)×0.000419058200092026×R²
    0.00153398000000005×0.000419058200092026×6371000²
    0.00153398000000005×0.000419058200092026×40589641000000     		ar = 7758096.1833403m²