Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38647 / 29515
↖ ↑ ↗
← N 17.586431°
E 32.294312°		 ← 582.24 m → N 17.586431°
E 32.299805°		 →
↑
582.31 m
↓
↑
582.31 m
↓
N 17.581194°
E 32.294312°		 ← 582.26 m →
339 049 m²		 N 17.581194°
E 32.299805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589714050292969 y=0.450370788574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589714050292969 × 216)
    floor (0.589714050292969 × 65536)
    floor (38647.5)     		tx = 38647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450370788574219 × 216)
    floor (0.450370788574219 × 65536)
    floor (29515.5)     		ty = 29515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38647 / 29515 ti = "16/38647/29515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38647/29515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38647 ÷ 216
    38647 ÷ 65536     		x = 0.589706420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29515 ÷ 216
    29515 ÷ 65536     		y = 0.450363159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589706420898438 × 2 - 1) × π
    0.179412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56364207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450363159179688 × 2 - 1) × π
    0.099273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.311877468928085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56364207} λ = 0.56364207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311877468928085))-π/2
    2×atan(1.36598730688575)-π/2
    2×0.93886872158913-π/2
    1.87773744317826-1.57079632675     		φ = 0.30694112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56364207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.294312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30694112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.586431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38647 KachelY 29515 0.56364207 0.30694112 32.294312 17.586431
    Oben rechts KachelX + 1 38648 KachelY 29515 0.56373794 0.30694112 32.299805 17.586431
    Unten links KachelX 38647 KachelY + 1 29516 0.56364207 0.30684972 32.294312 17.581194
    Unten rechts KachelX + 1 38648 KachelY + 1 29516 0.56373794 0.30684972 32.299805 17.581194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30694112-0.30684972) × R
    9.14000000000192e-05 × 6371000     		dl = 582.309400000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30694112-0.30684972) × R
    9.14000000000192e-05 × 6371000     		dr = 582.309400000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56364207-0.56373794) × cos(0.30694112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.953262250823776 × 6371000     		do = 582.240924405822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56364207-0.56373794) × cos(0.30684972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.953289862816349 × 6371000     		du = 582.257789473191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30694112)-sin(0.30684972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953262250823776-0.953289862816349)×R²
    abs(0.56373794-0.56364207)×2.76119925727292e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76119925727292e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76119925727292e-05×40589641000000     		ar = 339049.273925861m²