Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38644 / 29499
↖ ↑ ↗
← N 17.670194°
E 32.277832°		 ← 582.03 m → N 17.670194°
E 32.283325°		 →
↑
581.99 m
↓
↑
581.99 m
↓
N 17.664960°
E 32.277832°		 ← 582.05 m →
338 742 m²		 N 17.664960°
E 32.283325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589668273925781 y=0.450126647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589668273925781 × 216)
    floor (0.589668273925781 × 65536)
    floor (38644.5)     		tx = 38644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450126647949219 × 216)
    floor (0.450126647949219 × 65536)
    floor (29499.5)     		ty = 29499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38644 / 29499 ti = "16/38644/29499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38644/29499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38644 ÷ 216
    38644 ÷ 65536     		x = 0.58966064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29499 ÷ 216
    29499 ÷ 65536     		y = 0.450119018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58966064453125 × 2 - 1) × π
    0.1793212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56335444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450119018554688 × 2 - 1) × π
    0.099761962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.313411449715927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56335444} λ = 0.56335444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313411449715927))-π/2
    2×atan(1.3680843131434)-π/2
    2×0.939599694908715-π/2
    1.87919938981743-1.57079632675     		φ = 0.30840306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56335444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.277832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30840306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.670194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38644 KachelY 29499 0.56335444 0.30840306 32.277832 17.670194
    Oben rechts KachelX + 1 38645 KachelY 29499 0.56345032 0.30840306 32.283325 17.670194
    Unten links KachelX 38644 KachelY + 1 29500 0.56335444 0.30831171 32.277832 17.664960
    Unten rechts KachelX + 1 38645 KachelY + 1 29500 0.56345032 0.30831171 32.283325 17.664960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30840306-0.30831171) × R
    9.13499999999901e-05 × 6371000     		dl = 581.990849999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30840306-0.30831171) × R
    9.13499999999901e-05 × 6371000     		dr = 581.990849999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56335444-0.56345032) × cos(0.30840306) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.95281951568899 × 6371000     		do = 582.031211331121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56335444-0.56345032) × cos(0.30831171) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.952847239857493 × 6371000     		du = 582.048146680483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30840306)-sin(0.30831171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95281951568899-0.952847239857493)×R²
    abs(0.56345032-0.56335444)×2.77241685033847e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.77241685033847e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.77241685033847e-05×40589641000000     		ar = 338741.76775372m²