Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38642 / 28640
↖ ↑ ↗
← N 22.105999°
E 32.266846°		 ← 565.89 m → N 22.105999°
E 32.272339°		 →
↑
565.87 m
↓
↑
565.87 m
↓
N 22.100910°
E 32.266846°		 ← 565.91 m →
320 226 m²		 N 22.100910°
E 32.272339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589637756347656 y=0.437019348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589637756347656 × 216)
    floor (0.589637756347656 × 65536)
    floor (38642.5)     		tx = 38642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437019348144531 × 216)
    floor (0.437019348144531 × 65536)
    floor (28640.5)     		ty = 28640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38642 / 28640 ti = "16/38642/28640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38642/28640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38642 ÷ 216
    38642 ÷ 65536     		x = 0.589630126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28640 ÷ 216
    28640 ÷ 65536     		y = 0.43701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589630126953125 × 2 - 1) × π
    0.17926025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56316270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43701171875 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.395767043263184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56316270} λ = 0.56316270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395767043263184))-π/2
    2×atan(1.48552321459891)-π/2
    2×0.978309395140989-π/2
    1.95661879028198-1.57079632675     		φ = 0.38582246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56316270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.266846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38582246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.105999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38642 KachelY 28640 0.56316270 0.38582246 32.266846 22.105999
    Oben rechts KachelX + 1 38643 KachelY 28640 0.56325857 0.38582246 32.272339 22.105999
    Unten links KachelX 38642 KachelY + 1 28641 0.56316270 0.38573364 32.266846 22.100910
    Unten rechts KachelX + 1 38643 KachelY + 1 28641 0.56325857 0.38573364 32.272339 22.100910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38582246-0.38573364) × R
    8.88199999999895e-05 × 6371000     		dl = 565.872219999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38582246-0.38573364) × R
    8.88199999999895e-05 × 6371000     		dr = 565.872219999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56316270-0.56325857) × cos(0.38582246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926489236878441 × 6371000     		do = 565.888294921973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56316270-0.56325857) × cos(0.38573364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926522658078557 × 6371000     		du = 565.908708182262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38582246)-sin(0.38573364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926489236878441-0.926522658078557)×R²
    abs(0.56325857-0.56316270)×3.34212001159573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34212001159573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34212001159573e-05×40589641000000     		ar = 320226.241578473m²