Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38640 / 29487
↖ ↑ ↗
← N 17.732991°
E 32.255859°		 ← 581.77 m → N 17.732991°
E 32.261352°		 →
↑
581.80 m
↓
↑
581.80 m
↓
N 17.727759°
E 32.255859°		 ← 581.78 m →
338 477 m²		 N 17.727759°
E 32.261352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589607238769531 y=0.449943542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589607238769531 × 216)
    floor (0.589607238769531 × 65536)
    floor (38640.5)     		tx = 38640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449943542480469 × 216)
    floor (0.449943542480469 × 65536)
    floor (29487.5)     		ty = 29487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38640 / 29487 ti = "16/38640/29487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38640/29487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38640 ÷ 216
    38640 ÷ 65536     		x = 0.589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29487 ÷ 216
    29487 ÷ 65536     		y = 0.449935913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589599609375 × 2 - 1) × π
    0.17919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56297095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449935913085938 × 2 - 1) × π
    0.100128173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.314561935306808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56297095} λ = 0.56297095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314561935306808))-π/2
    2×atan(1.36965918019)-π/2
    2×0.940147701668418-π/2
    1.88029540333684-1.57079632675     		φ = 0.30949908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56297095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.255859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30949908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.732991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38640 KachelY 29487 0.56297095 0.30949908 32.255859 17.732991
    Oben rechts KachelX + 1 38641 KachelY 29487 0.56306682 0.30949908 32.261352 17.732991
    Unten links KachelX 38640 KachelY + 1 29488 0.56297095 0.30940776 32.255859 17.727759
    Unten rechts KachelX + 1 38641 KachelY + 1 29488 0.56306682 0.30940776 32.261352 17.727759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30949908-0.30940776) × R
    9.13200000000058e-05 × 6371000     		dl = 581.799720000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30949908-0.30940776) × R
    9.13200000000058e-05 × 6371000     		dr = 581.799720000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56297095-0.56306682) × cos(0.30949908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95248626037132 × 6371000     		do = 581.766958927825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56297095-0.56306682) × cos(0.30940776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952514070787353 × 6371000     		du = 581.783945189817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30949908)-sin(0.30940776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95248626037132-0.952514070787353)×R²
    abs(0.56306682-0.56297095)×2.78104160330583e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78104160330583e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78104160330583e-05×40589641000000     		ar = 338476.795345993m²