Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3864 / 2152
↖ ↑ ↗
← N 64.623877°
W 10.195312°		 ← 2 094.15 m → N 64.623877°
W 10.151367°		 →
↑
2 094.85 m
↓
↑
2 094.85 m
↓
N 64.605038°
W 10.195312°		 ← 2 095.60 m →
4 388 445 m²		 N 64.605038°
W 10.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47174072265625 y=0.26275634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47174072265625 × 213)
    floor (0.47174072265625 × 8192)
    floor (3864.5)     		tx = 3864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26275634765625 × 213)
    floor (0.26275634765625 × 8192)
    floor (2152.5)     		ty = 2152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3864 / 2152 ti = "13/3864/2152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3864/2152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3864 ÷ 213
    3864 ÷ 8192     		x = 0.4716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2152 ÷ 213
    2152 ÷ 8192     		y = 0.2626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17794177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2626953125 × 2 - 1) × π
    0.474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49102932578223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17794177} λ = -0.17794177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49102932578223))-π/2
    2×atan(4.4416650872033)-π/2
    2×1.34934787967843-π/2
    2.69869575935685-1.57079632675     		φ = 1.12789943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17794177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12789943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.623877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3864 KachelY 2152 -0.17794177 1.12789943 -10.195312 64.623877
    Oben rechts KachelX + 1 3865 KachelY 2152 -0.17717478 1.12789943 -10.151367 64.623877
    Unten links KachelX 3864 KachelY + 1 2153 -0.17794177 1.12757062 -10.195312 64.605038
    Unten rechts KachelX + 1 3865 KachelY + 1 2153 -0.17717478 1.12757062 -10.151367 64.605038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12789943-1.12757062) × R
    0.000328810000000068 × 6371000     		dl = 2094.84851000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12789943-1.12757062) × R
    0.000328810000000068 × 6371000     		dr = 2094.84851000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17794177--0.17717478) × cos(1.12789943) × R
    0.000766989999999995 × 0.428558646350392 × 6371000     		do = 2094.14894976266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17794177--0.17717478) × cos(1.12757062) × R
    0.000766989999999995 × 0.428855707605151 × 6371000     		du = 2095.60053759076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12789943)-sin(1.12757062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428558646350392-0.428855707605151)×R²
    abs(-0.17717478--0.17794177)×0.00029706125475909×R²
    0.000766989999999995×0.00029706125475909×6371000²
    0.000766989999999995×0.00029706125475909×40589641000000     		ar = 4388445.27496869m²