Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38639 / 29571
↖ ↑ ↗
← N 17.292954°
E 32.250366°		 ← 583.18 m → N 17.292954°
E 32.255859°		 →
↑
583.20 m
↓
↑
583.20 m
↓
N 17.287709°
E 32.250366°		 ← 583.20 m →
340 115 m²		 N 17.287709°
E 32.255859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589591979980469 y=0.451225280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589591979980469 × 216)
    floor (0.589591979980469 × 65536)
    floor (38639.5)     		tx = 38639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451225280761719 × 216)
    floor (0.451225280761719 × 65536)
    floor (29571.5)     		ty = 29571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38639 / 29571 ti = "16/38639/29571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38639/29571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38639 ÷ 216
    38639 ÷ 65536     		x = 0.589584350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29571 ÷ 216
    29571 ÷ 65536     		y = 0.451217651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589584350585938 × 2 - 1) × π
    0.179168701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56287508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451217651367188 × 2 - 1) × π
    0.097564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.306508536170639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56287508} λ = 0.56287508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306508536170639))-π/2
    2×atan(1.35867306529288)-π/2
    2×0.936307655600817-π/2
    1.87261531120163-1.57079632675     		φ = 0.30181898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56287508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.250366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30181898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.292954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38639 KachelY 29571 0.56287508 0.30181898 32.250366 17.292954
    Oben rechts KachelX + 1 38640 KachelY 29571 0.56297095 0.30181898 32.255859 17.292954
    Unten links KachelX 38639 KachelY + 1 29572 0.56287508 0.30172744 32.250366 17.287709
    Unten rechts KachelX + 1 38640 KachelY + 1 29572 0.56297095 0.30172744 32.255859 17.287709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30181898-0.30172744) × R
    9.15400000000011e-05 × 6371000     		dl = 583.201340000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30181898-0.30172744) × R
    9.15400000000011e-05 × 6371000     		dr = 583.201340000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56287508-0.56297095) × cos(0.30181898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954797363621654 × 6371000     		do = 583.178552528336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56287508-0.56297095) × cos(0.30172744) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95482457056863 × 6371000     		du = 583.195170198808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30181898)-sin(0.30172744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954797363621654-0.95482457056863)×R²
    abs(0.56297095-0.56287508)×2.72069469759995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72069469759995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72069469759995e-05×40589641000000     		ar = 340115.35925502m²