Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38638 / 28775
↖ ↑ ↗
← N 21.417276°
E 32.244873°		 ← 568.67 m → N 21.417276°
E 32.250366°		 →
↑
568.68 m
↓
↑
568.68 m
↓
N 21.412162°
E 32.244873°		 ← 568.69 m →
323 394 m²		 N 21.412162°
E 32.250366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589576721191406 y=0.439079284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589576721191406 × 216)
    floor (0.589576721191406 × 65536)
    floor (38638.5)     		tx = 38638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439079284667969 × 216)
    floor (0.439079284667969 × 65536)
    floor (28775.5)     		ty = 28775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38638 / 28775 ti = "16/38638/28775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38638/28775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38638 ÷ 216
    38638 ÷ 65536     		x = 0.589569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28775 ÷ 216
    28775 ÷ 65536     		y = 0.439071655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589569091796875 × 2 - 1) × π
    0.17913818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56277920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439071655273438 × 2 - 1) × π
    0.121856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.382824080365768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56277920} λ = 0.56277920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382824080365768))-π/2
    2×atan(1.46642003529965)-π/2
    2×0.972299156266564-π/2
    1.94459831253313-1.57079632675     		φ = 0.37380199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56277920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.244873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37380199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.417276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38638 KachelY 28775 0.56277920 0.37380199 32.244873 21.417276
    Oben rechts KachelX + 1 38639 KachelY 28775 0.56287508 0.37380199 32.250366 21.417276
    Unten links KachelX 38638 KachelY + 1 28776 0.56277920 0.37371273 32.244873 21.412162
    Unten rechts KachelX + 1 38639 KachelY + 1 28776 0.56287508 0.37371273 32.250366 21.412162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37380199-0.37371273) × R
    8.92599999999799e-05 × 6371000     		dl = 568.675459999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37380199-0.37371273) × R
    8.92599999999799e-05 × 6371000     		dr = 568.675459999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56277920-0.56287508) × cos(0.37380199) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930945752214724 × 6371000     		do = 568.669590539705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56277920-0.56287508) × cos(0.37371273) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930978342465356 × 6371000     		du = 568.689498342537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37380199)-sin(0.37371273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930945752214724-0.930978342465356)×R²
    abs(0.56287508-0.56277920)×3.25902506325138e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25902506325138e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25902506325138e-05×40589641000000     		ar = 323394.101742276m²