Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38638 / 28771
↖ ↑ ↗
← N 21.437730°
E 32.244873°		 ← 568.59 m → N 21.437730°
E 32.250366°		 →
↑
568.55 m
↓
↑
568.55 m
↓
N 21.432617°
E 32.244873°		 ← 568.61 m →
323 276 m²		 N 21.432617°
E 32.250366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589576721191406 y=0.439018249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589576721191406 × 216)
    floor (0.589576721191406 × 65536)
    floor (38638.5)     		tx = 38638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439018249511719 × 216)
    floor (0.439018249511719 × 65536)
    floor (28771.5)     		ty = 28771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38638 / 28771 ti = "16/38638/28771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38638/28771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38638 ÷ 216
    38638 ÷ 65536     		x = 0.589569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28771 ÷ 216
    28771 ÷ 65536     		y = 0.439010620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589569091796875 × 2 - 1) × π
    0.17913818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56277920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439010620117188 × 2 - 1) × π
    0.121978759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.383207575562729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56277920} λ = 0.56277920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383207575562729))-π/2
    2×atan(1.46698250818585)-π/2
    2×0.972477650377267-π/2
    1.94495530075453-1.57079632675     		φ = 0.37415897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56277920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.244873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37415897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.437730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38638 KachelY 28771 0.56277920 0.37415897 32.244873 21.437730
    Oben rechts KachelX + 1 38639 KachelY 28771 0.56287508 0.37415897 32.250366 21.437730
    Unten links KachelX 38638 KachelY + 1 28772 0.56277920 0.37406973 32.244873 21.432617
    Unten rechts KachelX + 1 38639 KachelY + 1 28772 0.56287508 0.37406973 32.250366 21.432617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37415897-0.37406973) × R
    8.92399999999904e-05 × 6371000     		dl = 568.548039999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37415897-0.37406973) × R
    8.92399999999904e-05 × 6371000     		dr = 568.548039999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56277920-0.56287508) × cos(0.37415897) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930815338972498 × 6371000     		do = 568.589927417679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56277920-0.56287508) × cos(0.37406973) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930847951577126 × 6371000     		du = 568.609848875483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37415897)-sin(0.37406973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930815338972498-0.930847951577126)×R²
    abs(0.56287508-0.56277920)×3.26126046276132e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.26126046276132e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.26126046276132e-05×40589641000000     		ar = 323276.352164457m²