Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38637 / 28776
↖ ↑ ↗
← N 21.412162°
E 32.239380°		 ← 568.63 m → N 21.412162°
E 32.244873°		 →
↑
568.68 m
↓
↑
568.68 m
↓
N 21.407048°
E 32.239380°		 ← 568.65 m →
323 372 m²		 N 21.407048°
E 32.244873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589561462402344 y=0.439094543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589561462402344 × 216)
    floor (0.589561462402344 × 65536)
    floor (38637.5)     		tx = 38637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439094543457031 × 216)
    floor (0.439094543457031 × 65536)
    floor (28776.5)     		ty = 28776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38637 / 28776 ti = "16/38637/28776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38637/28776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38637 ÷ 216
    38637 ÷ 65536     		x = 0.589553833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28776 ÷ 216
    28776 ÷ 65536     		y = 0.4390869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589553833007812 × 2 - 1) × π
    0.179107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56268333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    0.121826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.382728206566528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56268333} λ = 0.56268333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382728206566528))-π/2
    2×atan(1.46627945077888)-π/2
    2×0.972254528832296-π/2
    1.94450905766459-1.57079632675     		φ = 0.37371273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56268333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.239380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37371273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.412162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38637 KachelY 28776 0.56268333 0.37371273 32.239380 21.412162
    Oben rechts KachelX + 1 38638 KachelY 28776 0.56277920 0.37371273 32.244873 21.412162
    Unten links KachelX 38637 KachelY + 1 28777 0.56268333 0.37362347 32.239380 21.407048
    Unten rechts KachelX + 1 38638 KachelY + 1 28777 0.56277920 0.37362347 32.244873 21.407048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37371273-0.37362347) × R
    8.92599999999799e-05 × 6371000     		dl = 568.675459999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37371273-0.37362347) × R
    8.92599999999799e-05 × 6371000     		dr = 568.675459999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56268333-0.56277920) × cos(0.37371273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930978342465356 × 6371000     		do = 568.630185712699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56268333-0.56277920) × cos(0.37362347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931010925298561 × 6371000     		du = 568.650086908732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37371273)-sin(0.37362347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930978342465356-0.931010925298561)×R²
    abs(0.56277920-0.56268333)×3.25828332043976e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25828332043976e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25828332043976e-05×40589641000000     		ar = 323371.691305622m²