Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38636 / 29500
↖ ↑ ↗
← N 17.664960°
E 32.233886°		 ← 582.05 m → N 17.664960°
E 32.239380°		 →
↑
581.99 m
↓
↑
581.99 m
↓
N 17.659726°
E 32.233886°		 ← 582.07 m →
338 752 m²		 N 17.659726°
E 32.239380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589546203613281 y=0.450141906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589546203613281 × 216)
    floor (0.589546203613281 × 65536)
    floor (38636.5)     		tx = 38636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450141906738281 × 216)
    floor (0.450141906738281 × 65536)
    floor (29500.5)     		ty = 29500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38636 / 29500 ti = "16/38636/29500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38636/29500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38636 ÷ 216
    38636 ÷ 65536     		x = 0.58953857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29500 ÷ 216
    29500 ÷ 65536     		y = 0.45013427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58953857421875 × 2 - 1) × π
    0.1790771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56258745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45013427734375 × 2 - 1) × π
    0.0997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.313315575916687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56258745} λ = 0.56258745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313315575916687))-π/2
    2×atan(1.36795315598999)-π/2
    2×0.939554019030733-π/2
    1.87910803806147-1.57079632675     		φ = 0.30831171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56258745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.233886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30831171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.664960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38636 KachelY 29500 0.56258745 0.30831171 32.233886 17.664960
    Oben rechts KachelX + 1 38637 KachelY 29500 0.56268333 0.30831171 32.239380 17.664960
    Unten links KachelX 38636 KachelY + 1 29501 0.56258745 0.30822036 32.233886 17.659726
    Unten rechts KachelX + 1 38637 KachelY + 1 29501 0.56268333 0.30822036 32.239380 17.659726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30831171-0.30822036) × R
    9.13499999999901e-05 × 6371000     		dl = 581.990849999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30831171-0.30822036) × R
    9.13499999999901e-05 × 6371000     		dr = 581.990849999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56258745-0.56268333) × cos(0.30831171) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.952847239857493 × 6371000     		do = 582.048146681157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56258745-0.56268333) × cos(0.30822036) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.952874956074655 × 6371000     		du = 582.06507717343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30831171)-sin(0.30822036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952847239857493-0.952874956074655)×R²
    abs(0.56268333-0.56258745)×2.77162171622436e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.77162171622436e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.77162171622436e-05×40589641000000     		ar = 338751.622559405m²