Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38635 / 28781
↖ ↑ ↗
← N 21.386590°
E 32.228394°		 ← 568.73 m → N 21.386590°
E 32.233886°		 →
↑
568.74 m
↓
↑
568.74 m
↓
N 21.381475°
E 32.228394°		 ← 568.75 m →
323 464 m²		 N 21.381475°
E 32.233886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589530944824219 y=0.439170837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589530944824219 × 216)
    floor (0.589530944824219 × 65536)
    floor (38635.5)     		tx = 38635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439170837402344 × 216)
    floor (0.439170837402344 × 65536)
    floor (28781.5)     		ty = 28781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38635 / 28781 ti = "16/38635/28781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38635/28781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38635 ÷ 216
    38635 ÷ 65536     		x = 0.589523315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28781 ÷ 216
    28781 ÷ 65536     		y = 0.439163208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589523315429688 × 2 - 1) × π
    0.179046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56249158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439163208007812 × 2 - 1) × π
    0.121673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.382248837570328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56249158} λ = 0.56249158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382248837570328))-π/2
    2×atan(1.46557673031507)-π/2
    2×0.972031368236444-π/2
    1.94406273647289-1.57079632675     		φ = 0.37326641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56249158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.228394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37326641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.386590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38635 KachelY 28781 0.56249158 0.37326641 32.228394 21.386590
    Oben rechts KachelX + 1 38636 KachelY 28781 0.56258745 0.37326641 32.233886 21.386590
    Unten links KachelX 38635 KachelY + 1 28782 0.56249158 0.37317714 32.228394 21.381475
    Unten rechts KachelX + 1 38636 KachelY + 1 28782 0.56258745 0.37317714 32.233886 21.381475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37326641-0.37317714) × R
    8.92699999999746e-05 × 6371000     		dl = 568.739169999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37326641-0.37317714) × R
    8.92699999999746e-05 × 6371000     		dr = 568.739169999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56249158-0.56258745) × cos(0.37326641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931141189745084 × 6371000     		do = 568.729650839534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56249158-0.56258745) × cos(0.37317714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931173739131351 × 6371000     		du = 568.749531606587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37326641)-sin(0.37317714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931141189745084-0.931173739131351)×R²
    abs(0.56258745-0.56249158)×3.25493862665116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25493862665116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25493862665116e-05×40589641000000     		ar = 323464.483273192m²