Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38635 / 28758
↖ ↑ ↗
← N 21.504186°
E 32.228394°		 ← 568.27 m → N 21.504186°
E 32.233886°		 →
↑
568.29 m
↓
↑
568.29 m
↓
N 21.499075°
E 32.228394°		 ← 568.29 m →
322 950 m²		 N 21.499075°
E 32.233886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589530944824219 y=0.438819885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589530944824219 × 216)
    floor (0.589530944824219 × 65536)
    floor (38635.5)     		tx = 38635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438819885253906 × 216)
    floor (0.438819885253906 × 65536)
    floor (28758.5)     		ty = 28758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38635 / 28758 ti = "16/38635/28758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38635/28758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38635 ÷ 216
    38635 ÷ 65536     		x = 0.589523315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28758 ÷ 216
    28758 ÷ 65536     		y = 0.438812255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589523315429688 × 2 - 1) × π
    0.179046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56249158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438812255859375 × 2 - 1) × π
    0.12237548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.38445393495285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56249158} λ = 0.56249158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38445393495285))-π/2
    2×atan(1.46881203549751)-π/2
    2×0.973057583366441-π/2
    1.94611516673288-1.57079632675     		φ = 0.37531884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56249158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.228394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37531884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.504186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38635 KachelY 28758 0.56249158 0.37531884 32.228394 21.504186
    Oben rechts KachelX + 1 38636 KachelY 28758 0.56258745 0.37531884 32.233886 21.504186
    Unten links KachelX 38635 KachelY + 1 28759 0.56249158 0.37522964 32.228394 21.499075
    Unten rechts KachelX + 1 38636 KachelY + 1 28759 0.56258745 0.37522964 32.233886 21.499075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37531884-0.37522964) × R
    8.92000000000115e-05 × 6371000     		dl = 568.293200000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37531884-0.37522964) × R
    8.92000000000115e-05 × 6371000     		dr = 568.293200000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56249158-0.56258745) × cos(0.37531884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930390792283908 × 6371000     		do = 568.271317247609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56249158-0.56258745) × cos(0.37522964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930423486554533 × 6371000     		du = 568.291286508256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37531884)-sin(0.37522964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930390792283908-0.930423486554533)×R²
    abs(0.56258745-0.56249158)×3.26942706256883e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26942706256883e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26942706256883e-05×40589641000000     		ar = 322950.399758574m²