Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38629 / 29523
↖ ↑ ↗
← N 17.544534°
E 32.195435°		 ← 582.38 m → N 17.544534°
E 32.200928°		 →
↑
582.44 m
↓
↑
582.44 m
↓
N 17.539296°
E 32.195435°		 ← 582.39 m →
339 202 m²		 N 17.539296°
E 32.200928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589439392089844 y=0.450492858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589439392089844 × 216)
    floor (0.589439392089844 × 65536)
    floor (38629.5)     		tx = 38629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450492858886719 × 216)
    floor (0.450492858886719 × 65536)
    floor (29523.5)     		ty = 29523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38629 / 29523 ti = "16/38629/29523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38629/29523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38629 ÷ 216
    38629 ÷ 65536     		x = 0.589431762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29523 ÷ 216
    29523 ÷ 65536     		y = 0.450485229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589431762695312 × 2 - 1) × π
    0.178863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56191634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450485229492188 × 2 - 1) × π
    0.099029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.311110478534164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56191634} λ = 0.56191634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311110478534164))-π/2
    2×atan(1.36494000942804)-π/2
    2×0.938503107764314-π/2
    1.87700621552863-1.57079632675     		φ = 0.30620989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56191634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.195435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30620989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.544534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38629 KachelY 29523 0.56191634 0.30620989 32.195435 17.544534
    Oben rechts KachelX + 1 38630 KachelY 29523 0.56201221 0.30620989 32.200928 17.544534
    Unten links KachelX 38629 KachelY + 1 29524 0.56191634 0.30611847 32.195435 17.539296
    Unten rechts KachelX + 1 38630 KachelY + 1 29524 0.56201221 0.30611847 32.200928 17.539296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30620989-0.30611847) × R
    9.14200000000087e-05 × 6371000     		dl = 582.436820000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30620989-0.30611847) × R
    9.14200000000087e-05 × 6371000     		dr = 582.436820000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56191634-0.56201221) × cos(0.30620989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.953482932809988 × 6371000     		do = 582.37571426406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56191634-0.56201221) × cos(0.30611847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.953510487110727 × 6371000     		du = 582.392544093962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30620989)-sin(0.30611847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953482932809988-0.953510487110727)×R²
    abs(0.56201221-0.56191634)×2.75543007389745e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.75543007389745e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.75543007389745e-05×40589641000000     		ar = 339201.960453652m²