Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38625 / 30240
↖ ↑ ↗
← N 13.752725°
E 32.173462°		 ← 593.34 m → N 13.752725°
E 32.178955°		 →
↑
593.33 m
↓
↑
593.33 m
↓
N 13.747389°
E 32.173462°		 ← 593.35 m →
352 050 m²		 N 13.747389°
E 32.178955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589378356933594 y=0.461433410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589378356933594 × 216)
    floor (0.589378356933594 × 65536)
    floor (38625.5)     		tx = 38625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461433410644531 × 216)
    floor (0.461433410644531 × 65536)
    floor (30240.5)     		ty = 30240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38625 / 30240 ti = "16/38625/30240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38625/30240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38625 ÷ 216
    38625 ÷ 65536     		x = 0.589370727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30240 ÷ 216
    30240 ÷ 65536     		y = 0.46142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589370727539062 × 2 - 1) × π
    0.178741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56153284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    0.0771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.242368964479004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56153284} λ = 0.56153284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242368964479004))-π/2
    2×atan(1.27426426434142)-π/2
    2×0.905413326651064-π/2
    1.81082665330213-1.57079632675     		φ = 0.24003033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56153284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.173462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24003033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.752725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38625 KachelY 30240 0.56153284 0.24003033 32.173462 13.752725
    Oben rechts KachelX + 1 38626 KachelY 30240 0.56162872 0.24003033 32.178955 13.752725
    Unten links KachelX 38625 KachelY + 1 30241 0.56153284 0.23993720 32.173462 13.747389
    Unten rechts KachelX + 1 38626 KachelY + 1 30241 0.56162872 0.23993720 32.178955 13.747389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24003033-0.23993720) × R
    9.31299999999968e-05 × 6371000     		dl = 593.33122999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24003033-0.23993720) × R
    9.31299999999968e-05 × 6371000     		dr = 593.33122999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56153284-0.56162872) × cos(0.24003033) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.9713307648846 × 6371000     		do = 593.338835298901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56153284-0.56162872) × cos(0.23993720) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.971352900661559 × 6371000     		du = 593.352356971017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24003033)-sin(0.23993720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9713307648846-0.971352900661559)×R²
    abs(0.56162872-0.56153284)×2.21357769587538e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.21357769587538e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.21357769587538e-05×40589641000000     		ar = 352050.472624254m²