Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38625 / 29550
↖ ↑ ↗
← N 17.403063°
E 32.173462°		 ← 582.89 m → N 17.403063°
E 32.178955°		 →
↑
582.88 m
↓
↑
582.88 m
↓
N 17.397821°
E 32.173462°		 ← 582.91 m →
339 761 m²		 N 17.397821°
E 32.178955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589378356933594 y=0.450904846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589378356933594 × 216)
    floor (0.589378356933594 × 65536)
    floor (38625.5)     		tx = 38625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450904846191406 × 216)
    floor (0.450904846191406 × 65536)
    floor (29550.5)     		ty = 29550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38625 / 29550 ti = "16/38625/29550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38625/29550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38625 ÷ 216
    38625 ÷ 65536     		x = 0.589370727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29550 ÷ 216
    29550 ÷ 65536     		y = 0.450897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589370727539062 × 2 - 1) × π
    0.178741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56153284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450897216796875 × 2 - 1) × π
    0.09820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.308521885954681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56153284} λ = 0.56153284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308521885954681))-π/2
    2×atan(1.36141130500767)-π/2
    2×0.937268537976026-π/2
    1.87453707595205-1.57079632675     		φ = 0.30374075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56153284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.173462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30374075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.403063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38625 KachelY 29550 0.56153284 0.30374075 32.173462 17.403063
    Oben rechts KachelX + 1 38626 KachelY 29550 0.56162872 0.30374075 32.178955 17.403063
    Unten links KachelX 38625 KachelY + 1 29551 0.56153284 0.30364926 32.173462 17.397821
    Unten rechts KachelX + 1 38626 KachelY + 1 29551 0.56162872 0.30364926 32.178955 17.397821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30374075-0.30364926) × R
    9.14900000000274e-05 × 6371000     		dl = 582.882790000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30374075-0.30364926) × R
    9.14900000000274e-05 × 6371000     		dr = 582.882790000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56153284-0.56162872) × cos(0.30374075) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.954224340386178 × 6371000     		do = 582.889350576538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56153284-0.56162872) × cos(0.30364926) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.95425170030181 × 6371000     		du = 582.906063421495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30374075)-sin(0.30364926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954224340386178-0.95425170030181)×R²
    abs(0.56162872-0.56153284)×2.73599156326298e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.73599156326298e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.73599156326298e-05×40589641000000     		ar = 339761.041977357m²