Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38621 / 28767
↖ ↑ ↗
← N 21.458181°
E 32.151489°		 ← 568.45 m → N 21.458181°
E 32.156982°		 →
↑
568.48 m
↓
↑
568.48 m
↓
N 21.453069°
E 32.151489°		 ← 568.47 m →
323 161 m²		 N 21.453069°
E 32.156982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589317321777344 y=0.438957214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589317321777344 × 216)
    floor (0.589317321777344 × 65536)
    floor (38621.5)     		tx = 38621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438957214355469 × 216)
    floor (0.438957214355469 × 65536)
    floor (28767.5)     		ty = 28767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38621 / 28767 ti = "16/38621/28767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38621/28767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38621 ÷ 216
    38621 ÷ 65536     		x = 0.589309692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28767 ÷ 216
    28767 ÷ 65536     		y = 0.438949584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589309692382812 × 2 - 1) × π
    0.178619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56114935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438949584960938 × 2 - 1) × π
    0.122100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.383591070759689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56114935} λ = 0.56114935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383591070759689))-π/2
    2×atan(1.46754519681906)-π/2
    2×0.97265611947135-π/2
    1.9453122389427-1.57079632675     		φ = 0.37451591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56114935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.151489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37451591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.458181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38621 KachelY 28767 0.56114935 0.37451591 32.151489 21.458181
    Oben rechts KachelX + 1 38622 KachelY 28767 0.56124522 0.37451591 32.156982 21.458181
    Unten links KachelX 38621 KachelY + 1 28768 0.56114935 0.37442668 32.151489 21.453069
    Unten rechts KachelX + 1 38622 KachelY + 1 28768 0.56124522 0.37442668 32.156982 21.453069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37451591-0.37442668) × R
    8.92299999999957e-05 × 6371000     		dl = 568.484329999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37451591-0.37442668) × R
    8.92299999999957e-05 × 6371000     		dr = 568.484329999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56114935-0.56124522) × cos(0.37451591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930684821744963 × 6371000     		do = 568.450906846441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56114935-0.56124522) × cos(0.37442668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930717460340206 × 6371000     		du = 568.470842101246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37451591)-sin(0.37442668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930684821744963-0.930717460340206)×R²
    abs(0.56124522-0.56114935)×3.26385952431618e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26385952431618e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26385952431618e-05×40589641000000     		ar = 323161.099570885m²