Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38620 / 28762
↖ ↑ ↗
← N 21.483741°
E 32.145996°		 ← 568.41 m → N 21.483741°
E 32.151489°		 →
↑
568.36 m
↓
↑
568.36 m
↓
N 21.478629°
E 32.145996°		 ← 568.43 m →
323 066 m²		 N 21.478629°
E 32.151489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589302062988281 y=0.438880920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589302062988281 × 216)
    floor (0.589302062988281 × 65536)
    floor (38620.5)     		tx = 38620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438880920410156 × 216)
    floor (0.438880920410156 × 65536)
    floor (28762.5)     		ty = 28762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38620 / 28762 ti = "16/38620/28762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38620/28762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38620 ÷ 216
    38620 ÷ 65536     		x = 0.58929443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28762 ÷ 216
    28762 ÷ 65536     		y = 0.438873291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58929443359375 × 2 - 1) × π
    0.1785888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56105347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438873291015625 × 2 - 1) × π
    0.12225341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.38407043975589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56105347} λ = 0.56105347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38407043975589))-π/2
    2×atan(1.46824886113089)-π/2
    2×0.972879170630037-π/2
    1.94575834126007-1.57079632675     		φ = 0.37496201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56105347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.145996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37496201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.483741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38620 KachelY 28762 0.56105347 0.37496201 32.145996 21.483741
    Oben rechts KachelX + 1 38621 KachelY 28762 0.56114935 0.37496201 32.151489 21.483741
    Unten links KachelX 38620 KachelY + 1 28763 0.56105347 0.37487280 32.145996 21.478629
    Unten rechts KachelX + 1 38621 KachelY + 1 28763 0.56114935 0.37487280 32.151489 21.478629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37496201-0.37487280) × R
    8.92100000000062e-05 × 6371000     		dl = 568.35691000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37496201-0.37487280) × R
    8.92100000000062e-05 × 6371000     		dr = 568.35691000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56105347-0.56114935) × cos(0.37496201) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930521535934218 × 6371000     		do = 568.410457396918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56105347-0.56114935) × cos(0.37487280) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930554204250156 × 6371000     		du = 568.430412886057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37496201)-sin(0.37487280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930521535934218-0.930554204250156)×R²
    abs(0.56114935-0.56105347)×3.2668315938289e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2668315938289e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2668315938289e-05×40589641000000     		ar = 323065.68231225m²