Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3862 / 789
↖ ↑ ↗
← N 73.503461°
E159.433594°		 ← 2 775.11 m → N 73.503461°
E159.521484°		 →
↑
2 777.18 m
↓
↑
2 777.18 m
↓
N 73.478485°
E159.433594°		 ← 2 779.20 m →
7 712 665 m²		 N 73.478485°
E159.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9429931640625 y=0.1927490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9429931640625 × 212)
    floor (0.9429931640625 × 4096)
    floor (3862.5)     		tx = 3862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1927490234375 × 212)
    floor (0.1927490234375 × 4096)
    floor (789.5)     		ty = 789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3862 / 789 ti = "12/3862/789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3862/789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3862 ÷ 212
    3862 ÷ 4096     		x = 0.94287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 789 ÷ 212
    789 ÷ 4096     		y = 0.192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94287109375 × 2 - 1) × π
    0.8857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78264115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192626953125 × 2 - 1) × π
    0.61474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93128181189282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78264115} λ = 2.78264115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93128181189282))-π/2
    2×atan(6.89834696004016)-π/2
    2×1.42683686325478-π/2
    2.85367372650956-1.57079632675     		φ = 1.28287740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78264115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28287740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.503461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3862 KachelY 789 2.78264115 1.28287740 159.433594 73.503461
    Oben rechts KachelX + 1 3863 KachelY 789 2.78417513 1.28287740 159.521484 73.503461
    Unten links KachelX 3862 KachelY + 1 790 2.78264115 1.28244149 159.433594 73.478485
    Unten rechts KachelX + 1 3863 KachelY + 1 790 2.78417513 1.28244149 159.521484 73.478485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28287740-1.28244149) × R
    0.000435909999999984 × 6371000     		dl = 2777.1826099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28287740-1.28244149) × R
    0.000435909999999984 × 6371000     		dr = 2777.1826099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78264115-2.78417513) × cos(1.28287740) × R
    0.00153398000000005 × 0.283957431680853 × 6371000     		do = 2775.11216910833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78264115-2.78417513) × cos(1.28244149) × R
    0.00153398000000005 × 0.284375371276839 × 6371000     		du = 2779.19668717115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28287740)-sin(1.28244149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283957431680853-0.284375371276839)×R²
    abs(2.78417513-2.78264115)×0.000417939595986072×R²
    0.00153398000000005×0.000417939595986072×6371000²
    0.00153398000000005×0.000417939595986072×40589641000000     		ar = 7712665.10524339m²