Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38619 / 30250
↖ ↑ ↗
← N 13.699362°
E 32.140503°		 ← 593.41 m → N 13.699362°
E 32.145996°		 →
↑
593.46 m
↓
↑
593.46 m
↓
N 13.694025°
E 32.140503°		 ← 593.43 m →
352 169 m²		 N 13.694025°
E 32.145996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589286804199219 y=0.461585998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589286804199219 × 216)
    floor (0.589286804199219 × 65536)
    floor (38619.5)     		tx = 38619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461585998535156 × 216)
    floor (0.461585998535156 × 65536)
    floor (30250.5)     		ty = 30250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38619 / 30250 ti = "16/38619/30250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38619/30250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38619 ÷ 216
    38619 ÷ 65536     		x = 0.589279174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30250 ÷ 216
    30250 ÷ 65536     		y = 0.461578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589279174804688 × 2 - 1) × π
    0.178558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56095760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461578369140625 × 2 - 1) × π
    0.07684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.241410226486603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56095760} λ = 0.56095760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241410226486603))-π/2
    2×atan(1.27304316422991)-π/2
    2×0.904947647796843-π/2
    1.80989529559369-1.57079632675     		φ = 0.23909897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56095760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.140503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23909897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.699362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38619 KachelY 30250 0.56095760 0.23909897 32.140503 13.699362
    Oben rechts KachelX + 1 38620 KachelY 30250 0.56105347 0.23909897 32.145996 13.699362
    Unten links KachelX 38619 KachelY + 1 30251 0.56095760 0.23900582 32.140503 13.694025
    Unten rechts KachelX + 1 38620 KachelY + 1 30251 0.56105347 0.23900582 32.145996 13.694025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23909897-0.23900582) × R
    9.31499999999863e-05 × 6371000     		dl = 593.458649999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23909897-0.23900582) × R
    9.31499999999863e-05 × 6371000     		dr = 593.458649999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56095760-0.56105347) × cos(0.23909897) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.97155175772774 × 6371000     		do = 593.411931542781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56095760-0.56105347) × cos(0.23900582) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.97157381397803 × 6371000     		du = 593.42540323071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23909897)-sin(0.23900582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97155175772774-0.97157381397803)×R²
    abs(0.56105347-0.56095760)×2.20562502895039e-05×R²
    9.58700000001089e-05×2.20562502895039e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×2.20562502895039e-05×40589641000000     		ar = 352169.441486711m²