Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38618 / 28614
↖ ↑ ↗
← N 22.238260°
E 32.135010°		 ← 565.36 m → N 22.238260°
E 32.140503°		 →
↑
565.43 m
↓
↑
565.43 m
↓
N 22.233175°
E 32.135010°		 ← 565.38 m →
319 673 m²		 N 22.233175°
E 32.140503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589271545410156 y=0.436622619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589271545410156 × 216)
    floor (0.589271545410156 × 65536)
    floor (38618.5)     		tx = 38618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436622619628906 × 216)
    floor (0.436622619628906 × 65536)
    floor (28614.5)     		ty = 28614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38618 / 28614 ti = "16/38618/28614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38618/28614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38618 ÷ 216
    38618 ÷ 65536     		x = 0.589263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28614 ÷ 216
    28614 ÷ 65536     		y = 0.436614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589263916015625 × 2 - 1) × π
    0.17852783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56086173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436614990234375 × 2 - 1) × π
    0.12677001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.398259762043427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56086173} λ = 0.56086173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398259762043427))-π/2
    2×atan(1.48923082531004)-π/2
    2×0.97946359123479-π/2
    1.95892718246958-1.57079632675     		φ = 0.38813086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56086173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.135010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38813086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.238260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38618 KachelY 28614 0.56086173 0.38813086 32.135010 22.238260
    Oben rechts KachelX + 1 38619 KachelY 28614 0.56095760 0.38813086 32.140503 22.238260
    Unten links KachelX 38618 KachelY + 1 28615 0.56086173 0.38804211 32.135010 22.233175
    Unten rechts KachelX + 1 38619 KachelY + 1 28615 0.56095760 0.38804211 32.140503 22.233175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38813086-0.38804211) × R
    8.87500000000263e-05 × 6371000     		dl = 565.426250000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38813086-0.38804211) × R
    8.87500000000263e-05 × 6371000     		dr = 565.426250000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56086173-0.56095760) × cos(0.38813086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.925618069148094 × 6371000     		do = 565.356196326658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56086173-0.56095760) × cos(0.38804211) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92565165373607 × 6371000     		du = 565.376709382254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38813086)-sin(0.38804211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925618069148094-0.92565165373607)×R²
    abs(0.56095760-0.56086173)×3.35845879756436e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35845879756436e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35845879756436e-05×40589641000000     		ar = 319673.033523163m²