Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38610 / 30298
↖ ↑ ↗
← N 13.443052°
E 32.091065°		 ← 594.05 m → N 13.443052°
E 32.096558°		 →
↑
594.10 m
↓
↑
594.10 m
↓
N 13.437709°
E 32.091065°		 ← 594.07 m →
352 928 m²		 N 13.437709°
E 32.096558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589149475097656 y=0.462318420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589149475097656 × 216)
    floor (0.589149475097656 × 65536)
    floor (38610.5)     		tx = 38610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462318420410156 × 216)
    floor (0.462318420410156 × 65536)
    floor (30298.5)     		ty = 30298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38610 / 30298 ti = "16/38610/30298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38610/30298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38610 ÷ 216
    38610 ÷ 65536     		x = 0.589141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30298 ÷ 216
    30298 ÷ 65536     		y = 0.462310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589141845703125 × 2 - 1) × π
    0.17828369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56009474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462310791015625 × 2 - 1) × π
    0.07537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.236808284123077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56009474} λ = 0.56009474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236808284123077))-π/2
    2×atan(1.26719815248084)-π/2
    2×0.902710924011264-π/2
    1.80542184802253-1.57079632675     		φ = 0.23462552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56009474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.091065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23462552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.443052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38610 KachelY 30298 0.56009474 0.23462552 32.091065 13.443052
    Oben rechts KachelX + 1 38611 KachelY 30298 0.56019061 0.23462552 32.096558 13.443052
    Unten links KachelX 38610 KachelY + 1 30299 0.56009474 0.23453227 32.091065 13.437709
    Unten rechts KachelX + 1 38611 KachelY + 1 30299 0.56019061 0.23453227 32.096558 13.437709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23462552-0.23453227) × R
    9.32500000000169e-05 × 6371000     		dl = 594.095750000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23462552-0.23453227) × R
    9.32500000000169e-05 × 6371000     		dr = 594.095750000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56009474-0.56019061) × cos(0.23462552) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972601468181415 × 6371000     		do = 594.053081849239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56009474-0.56019061) × cos(0.23453227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972623142599149 × 6371000     		du = 594.066320318513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23462552)-sin(0.23453227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972601468181415-0.972623142599149)×R²
    abs(0.56019061-0.56009474)×2.16744177339301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16744177339301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16744177339301e-05×40589641000000     		ar = 352928.343916046m²