Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38610 / 29540
↖ ↑ ↗
← N 17.455473°
E 32.091065°		 ← 582.66 m → N 17.455473°
E 32.096558°		 →
↑
582.69 m
↓
↑
582.69 m
↓
N 17.450232°
E 32.091065°		 ← 582.68 m →
339 517 m²		 N 17.450232°
E 32.096558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589149475097656 y=0.450752258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589149475097656 × 216)
    floor (0.589149475097656 × 65536)
    floor (38610.5)     		tx = 38610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450752258300781 × 216)
    floor (0.450752258300781 × 65536)
    floor (29540.5)     		ty = 29540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38610 / 29540 ti = "16/38610/29540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38610/29540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38610 ÷ 216
    38610 ÷ 65536     		x = 0.589141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29540 ÷ 216
    29540 ÷ 65536     		y = 0.45074462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589141845703125 × 2 - 1) × π
    0.17828369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56009474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45074462890625 × 2 - 1) × π
    0.0985107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.309480623947083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56009474} λ = 0.56009474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309480623947083))-π/2
    2×atan(1.36271716763909)-π/2
    2×0.937725897899287-π/2
    1.87545179579857-1.57079632675     		φ = 0.30465547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56009474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.091065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30465547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.455473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38610 KachelY 29540 0.56009474 0.30465547 32.091065 17.455473
    Oben rechts KachelX + 1 38611 KachelY 29540 0.56019061 0.30465547 32.096558 17.455473
    Unten links KachelX 38610 KachelY + 1 29541 0.56009474 0.30456401 32.091065 17.450232
    Unten rechts KachelX + 1 38611 KachelY + 1 29541 0.56019061 0.30456401 32.096558 17.450232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30465547-0.30456401) × R
    9.14599999999877e-05 × 6371000     		dl = 582.691659999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30465547-0.30456401) × R
    9.14599999999877e-05 × 6371000     		dr = 582.691659999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56009474-0.56019061) × cos(0.30465547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95395035596208 × 6371000     		do = 582.661210608772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56009474-0.56019061) × cos(0.30456401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.953977786727954 × 6371000     		du = 582.67796498509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30465547)-sin(0.30456401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95395035596208-0.953977786727954)×R²
    abs(0.56019061-0.56009474)×2.74307658738593e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74307658738593e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74307658738593e-05×40589641000000     		ar = 339516.709581671m²