Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38609 / 30271
↖ ↑ ↗
← N 13.587260°
E 32.085571°		 ← 593.76 m → N 13.587260°
E 32.091065°		 →
↑
593.71 m
↓
↑
593.71 m
↓
N 13.581921°
E 32.085571°		 ← 593.77 m →
352 525 m²		 N 13.581921°
E 32.091065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589134216308594 y=0.461906433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589134216308594 × 216)
    floor (0.589134216308594 × 65536)
    floor (38609.5)     		tx = 38609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461906433105469 × 216)
    floor (0.461906433105469 × 65536)
    floor (30271.5)     		ty = 30271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38609 / 30271 ti = "16/38609/30271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38609/30271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38609 ÷ 216
    38609 ÷ 65536     		x = 0.589126586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30271 ÷ 216
    30271 ÷ 65536     		y = 0.461898803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589126586914062 × 2 - 1) × π
    0.178253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55999886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461898803710938 × 2 - 1) × π
    0.076202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.23939687670256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55999886} λ = 0.55999886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23939687670256))-π/2
    2×atan(1.27048266150886)-π/2
    2×0.903969378450851-π/2
    1.8079387569017-1.57079632675     		φ = 0.23714243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55999886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.085571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23714243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.587260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38609 KachelY 30271 0.55999886 0.23714243 32.085571 13.587260
    Oben rechts KachelX + 1 38610 KachelY 30271 0.56009474 0.23714243 32.091065 13.587260
    Unten links KachelX 38609 KachelY + 1 30272 0.55999886 0.23704924 32.085571 13.581921
    Unten rechts KachelX + 1 38610 KachelY + 1 30272 0.56009474 0.23704924 32.091065 13.581921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23714243-0.23704924) × R
    9.3189999999993e-05 × 6371000     		dl = 593.713489999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23714243-0.23704924) × R
    9.3189999999993e-05 × 6371000     		dr = 593.713489999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55999886-0.56009474) × cos(0.23714243) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.972013259994187 × 6371000     		do = 593.755738447372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55999886-0.56009474) × cos(0.23704924) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.97203514852682 × 6371000     		du = 593.769109089926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23714243)-sin(0.23704924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972013259994187-0.97203514852682)×R²
    abs(0.56009474-0.55999886)×2.18885326329632e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.18885326329632e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.18885326329632e-05×40589641000000     		ar = 352524.761101632m²