Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38603 / 29514
↖ ↑ ↗
← N 17.591667°
E 32.052612°		 ← 582.22 m → N 17.591667°
E 32.058105°		 →
↑
582.25 m
↓
↑
582.25 m
↓
N 17.586431°
E 32.052612°		 ← 582.24 m →
339 002 m²		 N 17.586431°
E 32.058105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589042663574219 y=0.450355529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589042663574219 × 216)
    floor (0.589042663574219 × 65536)
    floor (38603.5)     		tx = 38603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450355529785156 × 216)
    floor (0.450355529785156 × 65536)
    floor (29514.5)     		ty = 29514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38603 / 29514 ti = "16/38603/29514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38603/29514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38603 ÷ 216
    38603 ÷ 65536     		x = 0.589035034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29514 ÷ 216
    29514 ÷ 65536     		y = 0.450347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589035034179688 × 2 - 1) × π
    0.178070068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.55942362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450347900390625 × 2 - 1) × π
    0.09930419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.311973342727325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55942362} λ = 0.55942362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311973342727325))-π/2
    2×atan(1.36611827555671)-π/2
    2×0.938914417364094-π/2
    1.87782883472819-1.57079632675     		φ = 0.30703251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55942362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.052612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30703251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.591667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38603 KachelY 29514 0.55942362 0.30703251 32.052612 17.591667
    Oben rechts KachelX + 1 38604 KachelY 29514 0.55951949 0.30703251 32.058105 17.591667
    Unten links KachelX 38603 KachelY + 1 29515 0.55942362 0.30694112 32.052612 17.586431
    Unten rechts KachelX + 1 38604 KachelY + 1 29515 0.55951949 0.30694112 32.058105 17.586431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30703251-0.30694112) × R
    9.1389999999969e-05 × 6371000     		dl = 582.245689999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30703251-0.30694112) × R
    9.1389999999969e-05 × 6371000     		dr = 582.245689999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55942362-0.55951949) × cos(0.30703251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.953234633890001 × 6371000     		do = 582.224056320428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55942362-0.55951949) × cos(0.30694112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.953262250823776 × 6371000     		du = 582.240924405822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30703251)-sin(0.30694112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953234633890001-0.953262250823776)×R²
    abs(0.55951949-0.55942362)×2.76169337747323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76169337747323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76169337747323e-05×40589641000000     		ar = 339002.358327775m²