Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38600 / 29478
↖ ↑ ↗
← N 17.780074°
E 32.036133°		 ← 581.61 m → N 17.780074°
E 32.041626°		 →
↑
581.61 m
↓
↑
581.61 m
↓
N 17.774843°
E 32.036133°		 ← 581.63 m →
338 277 m²		 N 17.774843°
E 32.041626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588996887207031 y=0.449806213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588996887207031 × 216)
    floor (0.588996887207031 × 65536)
    floor (38600.5)     		tx = 38600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449806213378906 × 216)
    floor (0.449806213378906 × 65536)
    floor (29478.5)     		ty = 29478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38600 / 29478 ti = "16/38600/29478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38600/29478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38600 ÷ 216
    38600 ÷ 65536     		x = 0.5889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29478 ÷ 216
    29478 ÷ 65536     		y = 0.449798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5889892578125 × 2 - 1) × π
    0.177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55913600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449798583984375 × 2 - 1) × π
    0.10040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.315424799499969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55913600} λ = 0.55913600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.315424799499969))-π/2
    2×atan(1.37084152007944)-π/2
    2×0.940558580772446-π/2
    1.88111716154489-1.57079632675     		φ = 0.31032083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55913600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.036133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31032083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.780074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38600 KachelY 29478 0.55913600 0.31032083 32.036133 17.780074
    Oben rechts KachelX + 1 38601 KachelY 29478 0.55923187 0.31032083 32.041626 17.780074
    Unten links KachelX 38600 KachelY + 1 29479 0.55913600 0.31022954 32.036133 17.774843
    Unten rechts KachelX + 1 38601 KachelY + 1 29479 0.55923187 0.31022954 32.041626 17.774843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31032083-0.31022954) × R
    9.12899999999661e-05 × 6371000     		dl = 581.608589999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31032083-0.31022954) × R
    9.12899999999661e-05 × 6371000     		dr = 581.608589999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55913600-0.55923187) × cos(0.31032083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952235648912316 × 6371000     		do = 581.613888513644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55913600-0.55923187) × cos(0.31022954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952263521638352 × 6371000     		du = 581.630912833823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31032083)-sin(0.31022954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952235648912316-0.952263521638352)×R²
    abs(0.55923187-0.55913600)×2.78727260363265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78727260363265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78727260363265e-05×40589641000000     		ar = 338276.584603086m²