Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3860 / 1590
↖ ↑ ↗
← N 73.353055°
W 10.371094°		 ← 1 399.85 m → N 73.353055°
W 10.327148°		 →
↑
1 400.41 m
↓
↑
1 400.41 m
↓
N 73.340461°
W 10.371094°		 ← 1 400.88 m →
1 961 085 m²		 N 73.340461°
W 10.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47125244140625 y=0.19415283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47125244140625 × 213)
    floor (0.47125244140625 × 8192)
    floor (3860.5)     		tx = 3860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19415283203125 × 213)
    floor (0.19415283203125 × 8192)
    floor (1590.5)     		ty = 1590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3860 / 1590 ti = "13/3860/1590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3860/1590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3860 ÷ 213
    3860 ÷ 8192     		x = 0.47119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1590 ÷ 213
    1590 ÷ 8192     		y = 0.194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194091796875 × 2 - 1) × π
    0.61181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92207792716577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18100973} λ = -0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92207792716577))-π/2
    2×atan(6.83514666009912)-π/2
    2×1.42552432594847-π/2
    2.85104865189695-1.57079632675     		φ = 1.28025233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28025233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.353055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3860 KachelY 1590 -0.18100973 1.28025233 -10.371094 73.353055
    Oben rechts KachelX + 1 3861 KachelY 1590 -0.18024274 1.28025233 -10.327148 73.353055
    Unten links KachelX 3860 KachelY + 1 1591 -0.18100973 1.28003252 -10.371094 73.340461
    Unten rechts KachelX + 1 3861 KachelY + 1 1591 -0.18024274 1.28003252 -10.327148 73.340461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28025233-1.28003252) × R
    0.000219809999999931 × 6371000     		dl = 1400.40950999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28025233-1.28003252) × R
    0.000219809999999931 × 6371000     		dr = 1400.40950999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18100973--0.18024274) × cos(1.28025233) × R
    0.000766989999999995 × 0.286473464364854 × 6371000     		do = 1399.8506613819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18100973--0.18024274) × cos(1.28003252) × R
    0.000766989999999995 × 0.286684054804576 × 6371000     		du = 1400.87971015255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28025233)-sin(1.28003252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286473464364854-0.286684054804576)×R²
    abs(-0.18024274--0.18100973)×0.000210590439722602×R²
    0.000766989999999995×0.000210590439722602×6371000²
    0.000766989999999995×0.000210590439722602×40589641000000     		ar = 1961084.73151464m²