Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 386 / 891
↖ ↑ ↗
← N 22.755921°
W112.148438°		 ← 18.025 km → N 22.755921°
W111.972656°		 →
↑
18.035 km
↓
↑
18.035 km
↓
N 22.593726°
W112.148438°		 ← 18.046 km →
325.270 km²		 N 22.593726°
W111.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.188720703125 y=0.435302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.188720703125 × 211)
    floor (0.188720703125 × 2048)
    floor (386.5)     		tx = 386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435302734375 × 211)
    floor (0.435302734375 × 2048)
    floor (891.5)     		ty = 891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 386 / 891 ti = "11/386/891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/386/891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 386 ÷ 211
    386 ÷ 2048     		x = 0.1884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 891 ÷ 211
    891 ÷ 2048     		y = 0.43505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1884765625 × 2 - 1) × π
    -0.623046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.95735949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43505859375 × 2 - 1) × π
    0.1298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.408038889565918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.95735949} λ = -1.95735949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408038889565918))-π/2
    2×atan(1.50386564471503)-π/2
    2×0.983981033499376-π/2
    1.96796206699875-1.57079632675     		φ = 0.39716574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.95735949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -112.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39716574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.755921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 386 KachelY 891 -1.95735949 0.39716574 -112.148438 22.755921
    Oben rechts KachelX + 1 387 KachelY 891 -1.95429152 0.39716574 -111.972656 22.755921
    Unten links KachelX 386 KachelY + 1 892 -1.95735949 0.39433491 -112.148438 22.593726
    Unten rechts KachelX + 1 387 KachelY + 1 892 -1.95429152 0.39433491 -111.972656 22.593726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39716574-0.39433491) × R
    0.00283083000000001 × 6371000     		dl = 18035.21793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39716574-0.39433491) × R
    0.00283083000000001 × 6371000     		dr = 18035.21793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.95735949--1.95429152) × cos(0.39716574) × R
    0.00306797000000003 × 0.922161005903359 × 6371000     		do = 18024.5930214635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.95735949--1.95429152) × cos(0.39433491) × R
    0.00306797000000003 × 0.923252292281228 × 6371000     		du = 18045.9233452411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39716574)-sin(0.39433491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922161005903359-0.923252292281228)×R²
    abs(-1.95429152--1.95735949)×0.00109128637786915×R²
    0.00306797000000003×0.00109128637786915×6371000²
    0.00306797000000003×0.00109128637786915×40589641000000     		ar = 325270028.975886m²